Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): 2^3x < 2^x+1

Correction

L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
La base 2 est supérieur à 1
donc (I) ⇔ 3x < x + 1 ⇔ 3x - x < 1
⇔ 2x < 1

⇔	x <	1
		2

⇔ x ∈]	1	; +∞ [
	2

Ainsi

SI = ]	1	; +∞ [
	2

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante

(I): (	1	)5x ≥ (	1	) x - 4
	2		2

Correction

L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
La base 0,5 est inférieur à 1
donc (I) ⇔ 5x ≤ x - 4
⇔ 5x - x ≤ -4
⇔ 4x ≤ -4 ⇔ x ≤ -1
⇔ x∈] -∞ ; -1]
Ainsi S_I = ] -∞ ; -1]

Exercice 3 tp

1) Résoudre dans IR l'équation suivante
(E) 3^2x -3.3^x - 10 = 0
2) Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I) 3^2x -3.3^x - 10 ≥ 0

Correction

1) L'équation (E) est définie sur IR . Soit x∈IR
L'équation (E) ⇔ (3^x)² -3.3^x - 10 = 0
On pose X = 3^x , l'équation (E) devient
X² - 3X - 10 = 0
Δ = b²-4ac = 3²-4.1.(-10) = 49

Δ = 49 > 0 donc cette éqauation admet deux solutions différentes

X1 =	-b - √(Δ)		X2 =	-b + √(Δ)
	2a			2a
=	3 - √(49)		=	3 + √(49)
	2			2
=	-4		=	10
	2			2

Donc X₁ = -2 et X₂ = 5

X = -2 ⇔ 3^x = -2
Ce n'est pas possible car ∀x∈IR on a (3^x > 0)
et X = 5 ⇔ 3^x = 5
⇔ log₃(3^x) = log₃(5)
⇔ x = log₃(5)
Ainsi S_E = {log₃(5)}
2) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
L'inéquation (I) ⇔ (3^x)² -3.3^x - 10 ≥ 0
On étudie d'abord le signe de T(x)
tel que T(x) = (3^x)² -3.3^x - 10

On pose X = 3^x donc T(x) devient un trinôme
X² - 3X - 10
D'après la question (1) on déduit que ce trinôme admet deux racines
X₁ = -2 et X₂ = 5
Donc X² - 3X - 10 = (X - X₁)(X - X₂)
= (X + 2)(X - 5) = (3^x + 2)(3^x - 5)
Puisque 3^x + 2 > 0
alors T(x) est de signe de 3^x - 5
3^x - 5 ≥0 ⇔ 3^x ≥ 5

La base 3 est supérieur à 1 donc log₃ est strictement croissante sur IR
Donc 3^x ≥ 5 ⇔ log₃(3^x) ≥ log₃(5)
⇔ x∈[ log₃(5) ; +∞[
Ainsi S_I = [ log₃(5) ; +∞[