Exercice 1 tp

On considère une fonction f définie par

f(x) = x -	x
	x²-1

et (C) sa courbe dans un repère
orthonormé (O ; i^→ ; j^→).
1) Montrer que f est impaire et déterminer les limites de f en +∞ et à droite à 1
2) Déterminer les asymptotes de (C)
3) (a) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations sur D

(b) Déterminer l'équation de la tangente à (C) au point O
4) (a) Tracer la courbe (C)
(b) Résoudre graphiquement
l'inéquation f(x) ≥ 0
5) Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I=[0 ; 1[
(a) Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g^-1 définie dans un intervalle J qui doit être spécifié
(b) Montrer que g^-1 est dérivable au point 0 et calculer (g^-1)'(0)

(c) Déduire l'équation de la tangente à (C_g^-1) au point O

Correction

1) D={x∈IR/x²-1≠0}
=]-∞;-1[∪]-1;1[∪]1;+∞[
le domaine D est centrer en 0 donc
∀x∈D, (-x)∈D , soitx∈D

f(-x) = -x -	-x	= -(x -	x	)
	x²-1		x²-1

Donc f(-x) = - f(x) ainsi f est impaire

Il suffit donc d'étudier f sur [0;1[∪]1;+∞[

x	0		1		+∞
x²-1		-	||	+

lim 1+	x	=	1	=+∞
	x²-1		0+

donc

lim 1+

f(x) = 1-∞= - ∞

lim +∞	x	=	lim +∞	x	=	lim +∞	1	=0
	x²-1			x²			x

donc

lim +∞

f(x) = +∞ - 0= + ∞

2)

lim 1+

f(x) = - ∞

donc la droite d'équation x=1 est une asymptote de (C)

Puisque f est impaire alors la droite d'équation x=-1 est une asymptote de (C)

lim +∞	f(x)-x =	lim +∞	x	= 0
			x²-1

donc la droite (D) d'équation y=x est une asymptote de (C) au voisinage de +∞
et puisque f est impaire alors (D) est aussi une asymptote de (C) au voisinage de -∞
3) (a) f est une fonction rationnelle, donc dérivable sur D

Soit x∈D

f '(x)= 1 -	(x²-1)-2x²	= 1 +	x²+1
	(x²-1)²		(x²-1)²

Donc ∀x∈D

f '(x)= 1 +	x²+1
	(x²-1)²

x²+1> 0 et (x²-1)²>0 donc (∀x∈D): f '(x)>0
ainsi f est strictement croissante
sur des intervalles [0;1[ et ]1;+∞[

f est impaire donc f est également strictement croissante sur des intervalles ]-∞;-1[ et ]-1;0]

x	-∞			-1				1			+∞
f'		+				+				+
f	-∞	↗	+∞		-∞	↗	+∞		-∞	↗	+∞

(b) f est dérivable sur D et on a 0∈D donc f est dérivable au point 0 ainsi la courbe (C) admet une tangente (T₁) au point O d'équation
y = f'(0)(x-0)+f(0)

On a f(0)=0

et f '(0)= 1 +	0²+1	= 2
	(0²-1)²

Alors (T₁): y=2x

4) (a) La courbe (C)

(b) (C) coupe l'axe des abscisses en trois points d'abscisses respectives a tel que
-2<a<-1 , b=0 et c tel que 1<c<2
l'ensemble de solutions de l'inéquation f(x)≥0 est l'ensemble des abscisses des points de la courbe (C) situés au-dessus de l'axe des abscisses
donc S=[a;-1[∪[0;1[∪[c;+∞[

5) Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I=[0 ; 1[
(a) la fonction f est continue sur D et I⊂D donc f est continue sur I ainsi g est continue sur I
de plus f est strictement croissante sur I donc g est également strictement croissante sur I
alors la fonction g admet une fonction réciproque g^-1 définie dans l'intervalle J=f(I)

J = f([0 ; 1[) = [f(0) ;

lim 1-

f(x)[

Donc J = [0 ; +∞[

(b) f est dérivable au point 0 et f '(0)=2≠0 donc g est également dérivabe au point 0 et g'(0)=2≠0
ainsi g^-1 est dérivable au point g(0)=0

et (g-1)'(0) =	1
	g'(0)

Donc (g-1)'(0) =	1
	2

(c) Equation de la tangente à (C_g^-1) au point O
g^-1 est dérivable au point 0
donc la courbe (C_g^-1) admet une tangente (T₂) au point O d'équation
y = (g^-1)'(0)(x-0)+g^-1(0)

On a g^-1(0)=0

et (g-1)'(0) =	1
	2

Donc (T2): y =	1	x
	2