Exercice 1 tp

On considère une fonction f définie par

et (C) sa courbe dans un repère orthonormé
1) Calculer les limites de f en +∞ et en 1
2) Déterminer les asymptotes de (C)
2) Résoudre dans IR l'équation (E)
(x-1)√(x-1)+1=0
3) Calculer f'(x) puis étudier son signe et tracer le tableau de variations de f

4) Soit g la restriction de f sur I=]1 ; +∞[
Montrer que g admet une fonction réciproque g Calculer g(2) et (g)'(0)
5) Tracer les courbes (C_f) et (C_g^-1) dans le même repère et déduire graphiquement le signe de f

Correction

1) D={x∈IR/ x-1≥0 et √(x-1)≠0} =]1;+∞[
Limite de f en +∞

+∞ + 0 = +∞

Limite de f en 1⁺

ainsi (C) admet une asymptote d'équation x=1

Ainsi (C) admet une asymptote oblique d'équation y=x

2) On résout dans D l'équation
(x-1)√(x-1)+1=0
x>1 ⇒ x-1>0 ⇒ √(x-1)>0
donc ∀x>1, (x-1)√(x-1)+1>0
ainsi S=∅
3) x→x-1 est strictement positive et dérivable sur D
donc x→ √(x-1) est dérivable sur D Ainsi

est dérivable sur D

Puisque x→x est dérivable sur IR, et en particulier sur D alors f est continue et dérivable sur D . Soit x∈D

On a x>1 ou encore x-1>0 et √(x-1)>0
donc (∀x∈D) on a f '(x)>0
alors f est strictement croissante sur D
Tableau de variations

4) f est continue et strictement croissante sur I=]1 ; +∞[ donc g est continue et strictement croissante sur I
Ainsi g admet une fonction réciproque g^-1 définie de J = f(I) vers I

g(2) = 0 donc g^-1(0) = 2
f est dérivable au point 2 donc g est dérivable au point 2

g '(2) = f '(2) = 2 ≠ 0 donc g^-1 est dérivable au point g(2)=0 ainsi

5) Les courbes (C)

5) La courbe (C) coupe l'axe des abscisses en un seul point A(2;0)

La partie de la courbe (C) au dessus de l'axe des abscisses est l'ensemble des points, leurs abscisses appartiennent à l'intervalle I=[2;+∞[
La partie de la courbe (C) au dessous de l'axe des abscisses est l'ensemble des points, leurs abscisses appartiennent à l'intervalle J=]1;2]
Donc f est postive sur l'intervalle I=[2;+∞[
et f est négative sur l'intervalle J=]1;2]