Rappel
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I, k∈IR et n∈IN*, les fonctions f+g; kf; fg et fⁿ sont dérivables sur I et (∀x∈I) on a

(f+g)'(x) =	f'(x)+g'(x)
(kf)'(x) =	kf'(x)
(fg)'(x) =	f '(x)g(x)+f(x)g '(x)

(fn)'(x) =	nfn-1f '(x)
(f(ax+b))'(x) =	af'(ax+b)

Si g ne s'annule pas sur I, l'inverse de g et le quotient de f et g sont dérivables sur I
Et de plus (∀x∈I)

(	1	)' =	-g'(x)
	g		(g(x))²

(	f	)' =	f '(x)g(x) - f(x)g '(x)
	g		(g(x))²

Résultats
1) (∀x∈IR): (xⁿ)' = nx^n-1 tel que n∈IN*.
2) Toute fonction polynôme est dérivable sur IR
3) Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

{	f(x) =	2x²+4x+3	si x <-2
	f(x) =	x²-1	si x ≥ -2

1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f au point -2
3) Etudier la dérivabilité de f sur D

Correction

1) ∀x∈I=]-∞ ; -2[ on a 2x²+4x+3∈IR
donc f est bien définie sur I

∀x∈J=[-2 ; +∞[ on a x²-1∈IR
donc f est bien définie sur J
Ainsi D = I∪J = IR
2) -2∈J=[-2 ; +∞[
sur J on a f(x)= x²-1
Donc f(-2) = (-2)²-1 = 3

lim (-2)-	f(x)-f(-2)	=	lim (-2)-	2x²+4x+3-3
	x+2			x+2
		=	lim (-2)+	2x(x+2)
				x+2

=

lim (-2)+

2x = -4

f est donc dérivable à gauche à (-2)
et f '_g(-2)=-4

lim (-2)+	f(x)-f(-2)	=	lim (-2)+	x²-4
	x+2			x+2

=

lim (-2)+

x-2 = -4

f est dérivable à droite à -2
et f '_d(-2)=-4
f '_d(-2) = f '_g(-2) = -4
Alors f est dérivable au point -2

3) f est dérivable au point -2 on étudie donc la dérivabilité de f sur les deux intervalles ouverts
]-∞ ; -2[ et ]-2 ; +∞[
(i) Sur ]-∞ ; -2[ la fonction x→2x²+4x+3 est une restriction d'un polynôme
donc dérivable sur ]-∞ ; -2[
et de plus ∀x∈]-∞ ; -2[ on a f '(x) = 4x + 4

(ii) Sur ]-2 ; +∞[ la fonction x→x²-4 est une restriction d'un polynôme
donc dérivable sur ]-2 ; +∞[
et de plus ∀x∈]-2 ; +∞[ on a f '(x) = 2x
Ainsi f ' est définie par

{	f '(x) =	4x + 4	si x <-2
	f '(x) =	2x	si x ≥ -2
	f '(-2) =	-4	si x = -2