Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (2)

Rappel
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I, k∈IR et n∈IN*, les fonctions f+g; kf; fg et fn sont dérivables sur I et (∀x∈I) on a

(f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)
(kf)'(x) = kf'(x)
(fg)'(x) = f '(x)g(x)+f(x)g '(x)
(fn)'(x) = nfn-1f '(x)
(f(ax+b))'(x) = af'(ax+b)

Si g ne s'annule pas sur I, l'inverse de g et le quotient de f et g sont dérivables sur I
Et de plus (∀x∈I)

(1)' = -g'(x)
g(g(x))²
(f)' = f '(x)g(x) - f(x)g '(x)
g(g(x))²

Résultats
1) (∀x∈IR): (xn)' = nxn-1 tel que n∈IN*.
2) Toute fonction polynôme est dérivable sur IR
3) Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

{ f(x) = 2x²+4x+3 si x <-2
f(x) = x²-1 si x ≥ -2

1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f au point -2
3) Etudier la dérivabilité de f sur D

Correction

1) ∀x∈I=]-∞ ; -2[ on a 2x²+4x+3∈IR
donc f est bien définie sur I

∀x∈J=[-2 ; +∞[ on a x²-1∈IR
donc f est bien définie sur J
Ainsi D = I∪J = IR
2) -2∈J=[-2 ; +∞[
sur J on a f(x)= x²-1
Donc f(-2) = (-2)²-1 = 3


lim
(-2)-
f(x)-f(-2) =
lim
(-2)-
2x²+4x+3-3
x+2x+2
=
lim
(-2)+
2x(x+2)
x+2
=
lim
(-2)+
2x = -4

f est donc dérivable à gauche à (-2)
et f 'g(-2)=-4


lim
(-2)+
f(x)-f(-2) =
lim
(-2)+
x²-4
x+2x+2
=
lim
(-2)+
x-2 = -4

f est dérivable à droite à -2
et f 'd(-2)=-4
f 'd(-2) = f 'g(-2) = -4
Alors f est dérivable au point -2

3) f est dérivable au point -2 on étudie donc la dérivabilité de f sur les deux intervalles ouverts
]-∞ ; -2[ et ]-2 ; +∞[
(i) Sur ]-∞ ; -2[ la fonction x→2x²+4x+3 est une restriction d'un polynôme
donc dérivable sur ]-∞ ; -2[
et de plus ∀x∈]-∞ ; -2[ on a f '(x) = 4x + 4

(ii) Sur ]-2 ; +∞[ la fonction x→x²-4 est une restriction d'un polynôme
donc dérivable sur ]-2 ; +∞[
et de plus ∀x∈]-2 ; +∞[ on a f '(x) = 2x
Ainsi f ' est définie par

{ f '(x) = 4x + 4 si x <-2
f '(x) = 2x si x ≥ -2
f '(-2) = -4 si x = -2