Rappel
Dérivé du composé Soient f et g deux fonctions définies respectives sur I et J
avec f(I)⊂J et a∈I

1) Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a) alors gof est dérivable en a

Et on a (gof) '(a) = g '(f(a))f '(a)
2) Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J alors gof est dérivable sur I
Et on a ∀x∈I (gof) '(x) = g' (f(x))f '(x)
Cas particulier Si f est dérivable sur I
alors (f(ax+b)) '(x) = af '(ax+b)

Dérivée de la fonction réciproque Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a∈I
1) Si f est dérivable au point a et f '(a)≠0 alors sa fonction réciproque f ^-1 est dérivable au point b=f(a)
Et on a

2) Si f est dérivable sur I et (∀x∈I): f '(x)≠0 alors sa fonction réciproque f ^-1 est dérivable sur J=f(I)

Dérivée de la racine d'ordre n
Soit n∈IN*
1) La fonction ⁿ√x est dérivable sur IR^+*

2) Si une fonction numérique f est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors ∀n∈IN* la fonction ⁿ√f est dérivable sur I

Et on a

3) Si une fonction numérique f est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction √f est dérivable sur I

Et on a

Dérivée d'une puissance rationnelle 1) Soit r∈Q*, la fonction x→ x^r est continue et dérivable sur IR^+*
Et pour ∀ x∈IR^+* on a (x^r)' = rx^r-1

2) Soient r∈Q* ; f et g deux fonctions telles que f(x)=(g(x))^r
si g est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est dérivable sur I

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par: f(x)=x³-3x-3
1) Etudier les variations de f
2) Soit g la restriction de f sur [1;+∞[
i1. Montrer que g admet une fonction réciproque g^-1 et déterminer le domaine de définition de g^-1
i2. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique a et 2< a < 3