Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (5)

Rappel
Dérivé du composé Soient f et g deux fonctions définies respectives sur I et J
avec f(I)⊂J et a∈I

I f
J g

IR
x f(x) g(f(x))
I gof
IR

1) Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a) alors gof est dérivable en a

Et on a (gof) '(a) = g '(f(a))f '(a)
2) Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J alors gof est dérivable sur I
Et on a ∀x∈I (gof) '(x) = g' (f(x))f '(x)
Cas particulier Si f est dérivable sur I
alors (f(ax+b)) '(x) = af '(ax+b)

Dérivée de la fonction réciproque Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a∈I
1) Si f est dérivable au point a et f '(a)≠0 alors sa fonction réciproque f -1 est dérivable au point b=f(a)
Et on a

(f -1) '(b) =1 = 1
f '(f -1(b))f '(a)

2) Si f est dérivable sur I et (∀x∈I): f '(x)≠0 alors sa fonction réciproque f -1 est dérivable sur J=f(I)

Et ∀y∈J: (f -1) '(y) = 1
f '(f -1(y))

Dérivée de la racine d'ordre n
Soit n∈IN*
1) La fonction n√x est dérivable sur IR+*

Et ( n√x ) ' = 1
n(n√x)n-1

2) Si une fonction numérique f est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors ∀n∈IN* la fonction n√f est dérivable sur I

Et on a

( n√f ) ' = f '
n( n√f )n-1

3) Si une fonction numérique f est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction √f est dérivable sur I

Et on a

( √f ) ' = f '
2√(f)

Dérivée d'une puissance rationnelle 1) Soit r∈Q*, la fonction x→ xr est continue et dérivable sur IR+*
Et pour ∀ x∈IR+* on a (xr)' = rxr-1

2) Soient r∈Q* ; f et g deux fonctions telles que f(x)=(g(x))r
si g est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est dérivable sur I

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par: f(x)=x³-3x-3
1) Etudier les variations de f
2) Soit g la restriction de f sur [1;+∞[
i1. Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 et déterminer le domaine de définition de g-1
i2. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique a et 2< a < 3

i3. Montrer que, (g-1)'(0)1
3(a²-1)