Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x - 2√(x)
1) (a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur IR⁺
(b) Calculer f '(x) sur IR^+* et étudier son signe
(c) Tracer le tableau de variations de f
(d) Calculer f(4)
2) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=[1 ; +∞[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé

(b) Montrer que la fonction g^-1 est dérivable au point 0 et déterminer (g^-1)'(0)
(c) Déterminer g^-1 sur J

Correction

1) (a) D = IR⁺ et la fonction √ est continue sur IR⁺ donc f est continue sur IR⁺
La fonction √ est dérivable sur IR^+* donc f est dérivable sur IR^+*

On étudie la derivabilité de f au point 0⁺

Et cela signifie que f n'est pas dérivable au point 0 ainsi f est dérivable sur IR^+*

(b) Soit x∈IR^+*

f '(x) est de signe de √x -1
f '(x) ≥ 0 ⇔ x≥1 et f '(x)≤0 ⇔ 0<x≤1
alors f est strictement croissante
sur [1 ; +∞[ et strictement décroissante
sur [0 ; 1]

(c) Tableau de variations

(d) f(4) = 4-2√4 = 0
2) (a) f est continue sur IR⁺ en particulier sur I=[1;+∞[ donc sa restriction g est continue sur I
et on a f est strictement croissante sur I donc g est strictement croissante sur I
Donc g admet une fonction réciproque définie de J=f(I) vers I
J = f(I) = f([1 ; + ∞[)

Donc J = [-1;+∞[
(b) On a f(4)=0 et 0∈J donc g^-1(0)=4
Puisque g est dérivable au point 4
et g '(4)=(√4 -1)(√4)^-1=1.0,5=0,5≠0
alors g^-1 est dérivable au point 0

On déterminer g^-1
g^-1(x)=y, x≥-1 ⇔ g(y)=x, y≥1
⇔y - 2√y - x = 0

On considère l'équation
(E): y - 2√y - x = 0
On pose √y=t donc y=t²
l'équation (E) devient
t²-2t-x=0
t²-2t-x=0⇔t²-2t+1-1-x=0
⇔(t-1)²=1+x ; (1+x≥0)
⇔t = 1+√(1+x) ou t = 1-√(1+x)
Et puisque t = √(y) ≥ 1
alors t = 1+√(1+x)
ainsi g^-1(x)=1+√(1+x) avec x∈[-1;+∞[