Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation et représentation (6)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = x - 2√(x)
1) (a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur IR+
(b) Calculer f '(x) sur IR+* et étudier son signe
(c) Tracer le tableau de variations de f
(d) Calculer f(4)
2) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=[1 ; +∞[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé

(b) Montrer que la fonction g-1 est dérivable au point 0 et déterminer (g-1)'(0)
(c) Déterminer g-1 sur J

Correction

1) (a) D = IR+ et la fonction √ est continue sur IR+ donc f est continue sur IR+
La fonction √ est dérivable sur IR+* donc f est dérivable sur IR+*

On étudie la derivabilité de f au point 0+


lim
0+
f(x)-f(0) =
lim
0+
x-2√(x)
x-0 x
=
lim
0+
1-2√(x) =
lim
0+
1-2
x √x
Donc
lim
0+
f(x)-f(0) = -∞
x-0

Et cela signifie que f n'est pas dérivable au point 0 ainsi f est dérivable sur IR+*

(b) Soit x∈IR+*

f '(x) = 1 -2.1 = √(x) - 1
2√(x)√(x)
Doncf '(x) = √(x) - 1
√(x)

f '(x) est de signe de √x -1
f '(x) ≥ 0 ⇔ x≥1 et f '(x)≤0 ⇔ 0<x≤1
alors f est strictement croissante
sur [1 ; +∞[ et strictement décroissante
sur [0 ; 1]

(c) Tableau de variations


lim
+∞
f(x) =
lim
+∞
√(x)(√(x) - 2)
=
lim
+∞
√(x)
lim
+∞
(√(x) - 2) = +∞
x 01+∞
f '(x) ||-0+
f 0


-1

+∞

(d) f(4) = 4-2√4 = 0
2) (a) f est continue sur IR+ en particulier sur I=[1;+∞[ donc sa restriction g est continue sur I
et on a f est strictement croissante sur I donc g est strictement croissante sur I
Donc g admet une fonction réciproque définie de J=f(I) vers I
J = f(I) = f([1 ; + ∞[)

= [f(1) ;
lim
+∞
f(x)[

Donc J = [-1;+∞[
(b) On a f(4)=0 et 0∈J donc g-1(0)=4
Puisque g est dérivable au point 4
et g '(4)=(√4 -1)(√4)-1=1.0,5=0,5≠0
alors g-1 est dérivable au point 0

(g-1)'(0) = 1 = 1 = 2
g'(4)0,5

On déterminer g-1
g-1(x)=y, x≥-1 ⇔ g(y)=x, y≥1
⇔y - 2√y - x = 0

On considère l'équation
(E): y - 2√y - x = 0
On pose √y=t donc y=t²
l'équation (E) devient
t²-2t-x=0
t²-2t-x=0⇔t²-2t+1-1-x=0
⇔(t-1)²=1+x ; (1+x≥0)
⇔t = 1+√(1+x) ou t = 1-√(1+x)
Et puisque t = √(y) ≥ 1
alors t = 1+√(1+x)
ainsi g-1(x)=1+√(1+x) avec x∈[-1;+∞[