2- Groupe

2.1 Définition et propriétés

2.1.1 Définition

Soit (G ; T) un ensemble muni de la LCI T.
On dit que G est un groupe pour LCI T si les condtions suivantes sont vérifiées:
1) T admet un élément neutre e dans G
2) T est associative dans G.
3) (∀x∈G) x est symétrisable par T.

Remarque
Si (G ; T ) est un groupe et T est commutative on dit alors que G est un groupe commutatif (ou groupe abélien).

Exemples
(IN ; +) ; (ℤ ; +) ; (IQ ; +) ; (IR ; +) et (C ; +) sont des groupes commutatifs.
(IR ; ×) n'est pas un groupe car 0 n'a pas d'inverse.

2.1.2 Régles de calcul dans un groupe

Soient (G ; T) un groupe d'élément neutre e
a;b;c;d∈G et p;q∈IN*.
1) a°=e.
2) a^p = aTaT ..Ta , (p facteurs égaux à a).
3) a^p+q = a^pTa^q.
4) (aⁿ)^m = a^p.q.
Si de plus G est commutatif alors
(aTb)^p = a^pTa^p.

1.1.3 propriétés

Propriété (1)
Tout élément d'un groupe (G;T) est régulier par la loi T.

Démonstration
Soit a un élément du groupe (G;T)
et soit (x;y)∈G² tel que (aTx)=(aTy).
On a G est un groupe donc a admet un symétrique a'
a'T(aTx)=a'T(aTy) puisque T est associative
alors (a'Ta)Tx=(a'Ta)Ty.

Ou encore eTx=eTy ainsi x=y.
de la même manière on montre que
xTa=yTa ⇒ x=y
alors a est régulier dans (G;T).

Propriété (2)
Soient a^-1 et b^-1 les symétriques respectifs de a et b dans un groupe (G;T) d'élément neutre e.
(aTb)^-1=b^-1 T a^-1
(a^-1)^-1=a et a^-p=(a^-1)^p

Démonstration
On a (aTb)T(b^-1Ta^-1)
⇒ aT(bTb^-1)Ta^-1 (car T est associative)
⇒ aTeTa^-1=aTa^-1 = e
et (b^-1 T a^-1)T(aTb)
⇒b^-1T(a^-1Ta)Tb (car T est associative)
⇒b^-1TeTb =b^-1Tb=e
ainsi (aTb)^-1= b^-1Ta^-1.

2.2 Sous groupe

2.2.1 Définition

Soient (G;T) un groupe d'élément neutre e et H une partie de (G . T).
(H ; T) est un sous groupe de G si les conditions suivantes sont vérifiées
1) e∈H.
2) (∀(x;y)∈H²): xTy∈H.
3) (∀x∈H) : x'∈H avec x' est le symétrique de x.

Exemples
1) (ℤ;+) est un sous groupe de (IR;+).
2) (IR;+) est un sous groupe de (ℂ;+).

2.2.2 propriété

Soient (G;T) un groupe d'élément neutre e et H⊂G. (H;T) est un sous groupe de G si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées
1) e∈H.
2) (∀(x;y)∈H²): xTy'∈H avec y' est le symétrique de y dans G.