Exercice 1 tp

Soient n∈IN et nℤ={nk / k∈ℤ}.
Montrer que (nℤ;+) est un groupe.

Exercice 2 tp

Soit 𝕌={z∈ℂ/ |z|=1}.
Montrer que (𝕌;×) est un groupe.

Exercice 3 tp

Soit 𝕌_n={z∈ℂ/ zⁿ=1} ensemble des racines d'ordre n de l'unité.
Montrer que (𝕌_n;×) est un groupe.

2.3 Homomorphisme de groupes

2.3.1 Propriété

Soient G et H deux ensembles.
Si (G;⊥) est un groupe et f un homomorphisme de (G;⊥) vers (H;T)
alors (f(G);T) est aussi un groupe
et si de plus ⊥ est commutative alors (f(G) ; T) est un groupe commutatif.

2.3.2 Définition

Soient G et G' deux ensembles et f une application de (G;⊥) vers (G';T).
On dit que f est un morphisme de groupes si f est un homomorhisme et (G;⊥) et (G';T) sont deux groupes.

Exercice 4 tp

Soit f une application définie de (IR;+) vers (R;o) qui associe chaque nombre réel x par une rotation d'angle x et de centre l'origine O.
Montrer que f est un morphisme de groupes.

2.3.3 Propriété

Soit f un morphisme de groupes défini de (G;⊥) vers (G';T).
Si e et e' sont des éléments neutres respectifs de G et G' alors
1) f(e) = e'
2) (∀x∈G) : f(x^-1)=(f(x))^-1.

Exemple On désigne par x^-1 le symétrique de x et on considère le morphisme f défini de (IR^+*;×) vers (IR;+) par f(x)=lnx
On a f(1)=0 et f(x^-1)=-lnx=-f(x).

Remarque
1) Le symétrique de x pour la LCI ×

2) Le symétrique de y=f(x) pour la LCI +
y^-1 = -y = - f(x).

2.4 Deux groupes isomorphes

2.4.1 Définition

On dit que deux groupes (G;⊥) et (G';T) sont isomorphes s'il existe un homomorphisme bijectif f de (G;⊥) vers (G';T).

Exemple
(IR^+*;×) et (IR ; +) sont deux groupes isomorphes car il existe un isomorphisme ln défini de (IR^+*;×) vers (IR;+).

2.4.2 Propriété

Soit f un isomorphisme de groupes défini de (G;⊥) vers (G';T).
H est un sous groupe de G si et seulement si f(H) est un sous groupe de G'.

1.4.3 Propriété

Si f est un isomorphisme de groupes défini de (G;⊥) vers (G';T) alors l'application f^-1 définie de (G';T) vers (G;⊥) est un isomorphisme de groupes.

Exemple
La fonction ln définie
de (IR^+*;×) vers (IR;+) est un isomorphisme de groupe.
La fonction exp définie
de (IR;+) vers (IR^+*;×) est également un isomorphisme de groupe.
Notons que ln^-1=exp.