2.3 Intégration par changement de variable

2.3.1 Exemple 1

1) Montrer que x²+2x+2=1+(x+1)².
2) On considère l'intégrale suivante

I =	0 ∫ -1	1	dx
		x²+2x+2

(a) Vérifier que

I =	1 ∫ 0	1	dt
		1 + t²

(b) Calculer I.

Correction
1) x²+2x+2 = (x² +2.1x + 1²) + 1
= 1 + (x+1)²
donc x² + 2x + 2 = 1 + (x+1)².
2) (a) On a x²+2x+2=1+(x+1)²
on pose x+1=t donc (x+1)'dx=dt.
Si x=-1 alors t=0.
Si x=0 alors t=1.

Donc I =	0 ∫ -1	1	dx
		x²+2x+2

=	0 ∫ -1	1	dx
		1 + (x+1)²

ainsi

I =	1 ∫ 0	1	dt
		1 + t²

(b) Notons que la fonction arctan est dérivable sur IR donc dérivable sur l'intervalle [0;1] et de plus ∀t∈[0;1]

(artctan)'(t) =	1
	1 + t²

donc

I =

[ arctan(t)]

1 0

= arctan(1) - arctan(0)

Ainsi I =	π
	4

Remarque
Si on pose φ(x)=x+1

et g(x) =	1
	1 + x²

alors f(x)=g(φ(x))
et cela signifie que f s'écrit comme une composée de deux fonctions.

2.3.2 Propriété

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
Si est une composée de deux fonctions dérivables g et φ sur [a;b] (f=goφ) alors

b ∫ a	f(x)dx	=	φ(b) ∫ φ(a)	g(t)dt

avec t=φ(x) et dt=φ'(x)dx.

Exemple
Soit f une fonction définie sur [0;π/2] par

f(x) =	sin(2x)
	1+cos(x)

Calculer l'integrale:

π/2 ∫ 0

f(x)

dx

Correction
les fonction cos et sin sont continues sur IR et en particulier sur I, donc f est continue sur I et donc elle admet des fonctions primitives sur I.

π/2 ∫ 0	f(x) dx =	π/2 ∫ 0	2sin(x)cos(x)	dx
			1+cos(x)

On pose t = cos(x) donc dt = -sin(x)dx.
(x=0 ⇒ t=1) et (x=π/2 ⇒ t=0)

π/2 ∫ 0	f(x) dx =	0 ∫ 1	-2t	dt
			1+t

=	1 ∫ 0	2t	dt =	1 ∫ 0	(2 -	2	)dt
		1+t				1+t

= [ 2x - ln|1+t|]

1 0

=	2 - ln(2) -(0 - ln(1))

ainsi

π/2 ∫ 0

f(x)

dx

= 2 - ln(2)