Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul Intégral (7)

3- Calcul d’aires et de volumes

3.1 Calcul d’aires

3.1.1 Introduction

Le plan est rapporté à un repère (O;i;j). Soit f une fonction définie sur un intervalle I=[a;b] et (C) sa courbe.
UA est l'unité d'aire du rectangle OIKJ avec i=OI et j=OJ.

On désigne par S la surface délimitée par (C) ; l'axe des abscisse et les droite
(D):x=a et (D'):x=b.
1) Si f est une constante alors f=k

b

a
f(x)dx=k(b-a)=S

S est la surface du rectangle ABCD.

2) Si f(x)=mx+p

b

a
f(x)dx = [( m )x²+px] b
a
2
S = 1 (b-a)(f(a)+f(b))
2

S est la surface du trapèze ABCD.

3.1.2 Propriété 1

Soit f une fonction continue sur un intervalle I=[a;b].

S = b

a
| f(x) |dx .UA

est l'aire délimitée par la courbe (C ) ; l'axe des abscisse et les droites (D):x=a et (D'):x=b.

3.1.3 Propriété 2

Soient f et g deux fonctions définies et continues sur I=[a;b]. L'aire S délimitée par les courbes (Cf) et (Cg) et les droites (D):x=a et (D'):x=b est définie par

S = b

a
|f(x)-g(x)|dx.UA

Exemple Soient f et g deux fonctions définies par

f(x) = 1 g(x) = - 1(x-2)²+2
22

Et (Cf) et (Cg) leurs courbes dans un repère orthonormé.
Calculer l'aire délimitée par (Cf) et (Cg) et les droite (D):x=0 et (D'):x=3.

Correction
f et g sont continues sur I=[0 ; 3].

3

0
|f(x)-g(x)| = 3

0
1 |2x(x-2)| dx
2
= 2

0
- (x² - 2x) dx + 3

2
(x² - 2x) dx
= - [1 x³ - x²] 2
0
+ [ 1 x³ - x²] 3
2
3 3
( 4 ) + (0 - 8 + 4) = 8
3 3 3
ainsi S = 8 UA cm²
3

||i||=||j||=1.