Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul Intégral (10)

Rappel
Le plan est rapporté à un repère (O ; i ; j)
Soient f et g deux fonctions définies et continues sur I=[a;b] et (Cf) et (Cg) leurs courbes représentatives respectives
1) L'aire S1 délimitée par la courbe (C) ; l'axe des abscisse et les droites (D): x=a et (D'): x=b est définie par

S1 = b

a
| f(x) | dx .UA

2) L'aire S2 délimitée par les courbes (Cf) ; (Cg) et les droites (D): x=a et (D'): x=b est définie par

S2 = b

a
|f(x)-g(x)|dx.UA
Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = ln(x) et (Cf) sa courbe représentative
dans un repère (O ; i ; j)
1) Vérifier que la fonction g définie par
g(x) = -x + xlnx est une fonction primitive de f sur IR+*
2) Calculer l'aire délimité par (Cf) ; l'axe des abscisses et les droite (D): x=1 et (D'): x=2

Correction

1) g est dérivable sur IR+* . Soit x∈IR+*
g'(x) = -1 + lnx + 1 = ln(x) = f(x)
Ainsi g est une fonction primitive de f

2) S = 2

1
| f(x) | dx .UA
= 2

1
|ln(x)|dx= 2

1
ln(x)dx
Donc S = [-x + xlnx] 2
1
= -1+2ln2 .UA
Exercice 2 tp

Soient f et g deux fonctions définies par

f(x) = 1 g(x) = - 1(x-2)²+2
22

Et (Cf) et (Cg) leurs courbes dans un repère
orthonormé (O ; i ; j)
Calculer l'aire délimité par (Cf) et (Cg) et les droite (D): x=0 et (D'): x=3

Correction

f et g sont continues sur I=[0 ; 3] donc la fonction f-g et g-f admettent des fonctions primitives

3

0
|f(x)-g(x)| = 3

0
1 |2x(x-2)| dx
2
= 2

0
- (x² - 2x) dx + 3

2
(x² - 2x) dx
= - [1 x³ - x²] 2
0
+ [ 1 x³ - x²] 3
2
3 3
(4) + (0 - 8 + 4) = 8
33 3

Ainsi

S = 8 UA cm²
3

||i||=||j||=1