Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie
sur I=[1 ; e] par

f(x) =	x+1
	1 + x³

Calculer

F =

e ∫ 1

f(x)

dx

Correction

f est une fonction rationnelle donc continues sur D=IR \{-1} en particulier sur I donc elle admet des primitives sur I
On a x³ + 1 = (x+1)(x²+x+1)
donc

e ∫ 1	f(x) dx =	e ∫ 1	1	dx
			x²+x+1

On écrit trinôme x²+x+1 sous la forme canonique

x²+x+1 = (x +	1	)² +	3
	2		4
=	3	( 1 + (	2x + 1	)²)
	4		√(3)

et on pose

t =	2x + 1	⇒ dx =	√(3)	dt
	√(3)		2

x= -½ ⇒ t=0 et x=1 ⇒ t=√(3)

Donc F =	2√(3)	√(3) ∫ 0	1	dt
	3		1 + t²

√(3) ∫ 0	1	dt	= [arctan(t)]	√(3) 0
	1 + t²

= arctan(√3 - arctan0) =	π
	3

Ainsi F =	2π√(3)
	9

Exercice 2 tp

En utilisant l'intégration par changement de variable calculer l'intégrale

4 ∫ 2	1	dx
	x√(x - 1)

Vous pouvez poser t=√(x-1)