Rappel Fonction définie par l'integrale
Soit g une fonction continue sur I=[a;b].
La fonction f définie sur I par

x→f(x) =

x ∫ a

g(t)dt

est la fonction primitive de g qui s'annule en a

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie sur l'intervalle
I=[2 ; 4] par

f(x) =	- 1
	x²

Déterminer la fonction primitive G de f qui s'annule en 2

Correction

La fonction f est continue sur l'intervalle I donc elle admet des fonctions primitives

2∈I donc f admet une fonction primitive notée G qui s'annule en 2
La fonction primitive G de f de la variable réel x tel que x∈I est définie par

G(x) =

x ∫ 2

f(t)dt

=	x ∫ 2	- 1	dt	= [	1	]	x 2
		t²			t

Ainsi (∀x∈I)

G(x) =	1	-	1
	x		2

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie sur l'intervalle
I=[ln(√3) ; 3] par

f(x) =	ex
	1+e2x

Déterminer la fonction primitive G de f qui s'annule en ln(√3)

Correction

La fonction f est continue sur l'intervalle I donc elle admet des fonctions primitives

ln(√3)∈I donc f admet une fonction primitive notée G qui s'annule en ln(√3)
La fonction primitive G de f de la variable réel x tel que x∈I est définie par

G(x) =

x ∫ ln(√3)

f(t)

dt

=	x ∫ ln(√3)	et	dt
		1+(et)²

On pose u=e^t donc du=udt

Si t=x alors u=e^x
Si t=ln(√3) alors u=e^ln(√3)=√(3)

G(x) =	ex ∫ √3	u	du
		(1+u²)u

=	ex ∫ √(3)	1	du = [arctan(u)]	ex √(3)
		1+u²

= arctan(e^x) - arctan(√3)
Ainsi (∀x∈I)

G(x) =	-π	+ arctan(ex)
	3