Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (2)

Exercice 1 tp

Calculer l'integrale suivante

I = 2

1
4x² - 1dx
2x+1
Correction

La fonction f définie par

f(x) = 4x² - 1
2x+1

est continue sur l'intervalle [1 ; 2] donc elle admet des fonctions primitives

∀x∈[1 ; 2] on a 2x+1≠0

I = 2

1
(2x-1)(2x+1) dx
2x+1

Et donc f(x) = 2x-1

I = 2

1
2x-1 dx
= [x² -x]2
1

Ainsi I = 2

Exercice 2 tp

Calculer l'integrale suivante

I = 1

0
2x - 1dx
x-2
Correction

La fonction f définie par

f(x) = 2x - 1
x-2

est continue sur l'intervalle [0 ; 1] donc elle admet des fonctions primitives

∀x∈[0 ; 1] on a x-2≠0
Nous pouvons utiliser la division Euclidienne de 2x-1 par x-2
2x-1 = 2x-4+4-1 = 2(x-2)+3 donc

f(x) = 2 + 3
x-2

Ainsi

I = 1

0
(2 + 3 ) dx
x - 2
I = 1

0
2 dx + 1

0
3 dx
x - 2
= [2x]1
0
+ 3 [ln|x - 2|]1
0
= 2 - 0 + 3(ln(1) - ln(2) )

Ainsi I = 2 - 3ln(2)

Exercice 3 tp

Calculer l'integrale suivante

I = 5

2
3x³ - 5x² + 3dx
x-1
Correction

La fonction f définie par

f(x) = 3x³ - 5x² + 3
x-1

est continue sur l'intervalle [2 ; 5] donc elle admet des fonctions primitives

∀x∈[2 ; 5] on a x-1≠0
Nous pouvons utiliser la division Euclidienne
de 3x³ - 5x² + 3 par x-1
3x³ - 5x² + 3 = (x-1)(3x² - 2x - 2) + 1 donc

f(x) = 3x² - 2x - 2 + 1
x-1

Ainsi

I = 5

2
( 3x² - 2x - 2 + 1 ) dx
x - 1
I = 5

2
( 3x² - 2x - 2) dx + 5

2
1 dx
x - 1

On a

3

2
(3x²-2x-2)dx = [x³-x²-2x] 5
2
= 90
5

2
1dx = [ln|x - 1|] 5
2
= ln4
x-1

Donc I = 90 + ln4.