Mathématiques du secondaire qualifiant

Calcul intégral (3)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = 3x² + 1 + 2
x² - 1

1) Déterminer a et b tel que ∀ x∈[2 ; 3]

2 = a + b
x² - 1x - 1x + 1
2) Calculer I = 3

2
2 dx
x² - 1

3) Déduire l'integrale

3

2
f(x) dx
Correction

1) (∀x∈[2 ; 3] ) on a x²-1≠0

a + b = a(x+1) + b(x-1)
x - 1 x + 1 (x - 1)(x+1)
= (a+b)x + a-b
x² - 1

Donc (a+b)x + a-b = 2
⇔ (a+b)x + a-b = 0.x + 2

⇔ { a + b = 0 ⇔ { b = -a
a - b = 2 a - b = 2

Donc 2a = 2 ⇔ a=1 et donc b=-1 Ainsi

2 = 1 - 1
x² - 1x - 1x + 1
2) I = 3

2
1 dx - 3

2
1 dx
x - 1x + 1
= [ln(|x - 1|)]3
2
- [ln|x + 1|]3
2

= ln(2) - ln(1) -(ln(4) - ln(3))
Ainsi I = - ln(2) + ln(3)

3) 3

2
f(x)dx = 3

2
(3x² + 1)dx + I
= [x³ + x] 3
2
+ I = 30-10 -ln2 + ln3
Alors 3

2
f(x)dx = 20 - ln(1) + ln(3)
Exercice 2 tp
Calculer I = 9

1
(x +1). √(x) dx
Correction

La fonction f: x→(x +1).√(x) est continue
sur [1 ; 9] donc admet des fonctions primitives

I = 9

1
x . √(x) + √(x) dx
= 9

1
x . x1/2 + x1/2 dx
= 9

1
x3/2 + x1/2 dx
= [x5/2 + x3/2] 9
1

= 95/2 + 93/2 - (15/2 + 13/2)= 35 + 33 - 2
Ainsi I = 243 + 27 - 2 = 218

Exercice 3 tp

Montrer

3

2
x . ∛(x-1) dx = 45 ∛(2) - 33
14 28
Correction

La fonction f: x→x∛(x-1) est continue sur l'intervalle [2 ; 3] donc admet des fonctions primitives
x∛(x-1) = (x-1)∛(x-1) + ∛(x-1) donc

K = 3

2
(x-1)∛(x-1) + ∛(x-1) dx
= 3

2
(x-1)4/3+ (x-1)1/3 dx
= [ (x-1)7/3 ] 3
2
+ [ (x-1)4/3 ] 3
2
7/3 4/3
= 3 27/3 - 3 + 3 24/3 - 3
7 7 4 4
= 12 ∛(2) + 3 ∛(2) - 33
7 2 28
Ainsi K = 45 ∛(2) - 33
14 28