Calcul intégral (4)
Exercice 1 tp
Soient f ; g et h des fonctions définies
sur I = [0 ; 1] par
| f(x) = | 1 | ; g(x) = - | 1 | x + 1 |
| 1 + x² | 2 |
| et h(x) = | 1 | x + 1 |
| 2 |
1) Montrer que (∀x∈I): g(x)≤f(x)≤h(x)
2) Déduire un encadrement de l'integrale
| 1 ∫ 0 | f(x)dx |
Correction
1) (a) Montrons que g(x) ≤ f(x) . Soit x∈I
on étudie le signe de g(x) - f(x)
| g(x) - f(x) = | -1 | x + 1 - | 1 |
| 2 | 1 + x² |
| = | -x(1+x²) + 2(1+x²) - 2 |
| 2(1 + x²) | |
| = | - x³ + 2x² - x |
| 2(1 + x²) | |
| = | - x(x² - 2x + 1) |
| 2(1 + x²) | |
| = | - x(x - 1)² |
| 2(1 + x²) |
∀x∈I on a (1+x² > 0 et -x≤0)
donc (∀x∈I) on a g(x) ≤ f(x)
(b) Montrons que f(x) ≤ h(x) . Soit x∈I
on étudie le signe de h(x) - f(x)
| h(x) - f(x) = | 1 | x + 1 - | 1 |
| 2 | 1 + x² |
| = | x(1+x²) + 2(1+x²) - 2 |
| 2(1 + x²) |
| = | x3 + 2x² + x |
| 2(1 + x²) | |
| = | x(x² + 2x + 1) |
| 2(1 + x²) | |
| = | x(x + 1)² |
| 2(1 + x²) |
(∀x∈I) on a (1+x² > 0 ; (x+1)²≥0 et x≥0)
donc (∀x∈I) on a h(x) ≥ f(x)
ainsi (∀x∈I) on a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
2) D'après la question (1)
(∀x∈I) on a g(x)≤f(x)≤h(x)
Donc
| 1 ∫ 0 |
g(x)dx | ≤ | 1 ∫ 0 |
f(x)dx | ≤ | 1 ∫ 0 |
h(x)dx |
On a
| 1 ∫ 0 |
g(x)dx = | 1 ∫ 0 |
-1 | x + 1 dx |
| 2 |
| = | -1 | 1 ∫ 0 | (x - 2) | dx |
| 2 |
| = | - 1 | [x² - 4x] | 1 0 |
| 4 |
| = | 3 |
| 4 |
Et on a
| 1 ∫ 0 |
h(x)dx = | 1 ∫ 0 |
1 | x + 1 | dx |
| 2 |
| = | 1 | [x² + 4x] | 1 0 |
| 4 |
| = | 5 |
| 4 |
Donc (∀x∈I)
| 3 | ≤ | 1 ∫ 0 | f(x)dx | ≤ | 5 |
| 4 | 4 |