1- Loi de composition interne (LCI)

1.1 Exemples

1.1.1 Ensemble des fonctions

Soit 𝔽 l'ensemble des fonctions affines.
(f ; g)∈𝔽² signifie f(x)=ax+b et g(x)=a'x+b' avec a;b;a';b';x∈IR.
On définit l'application somme (+) par
som(f ; g) = f+g et on montre que f+g∈𝔽.

Soit x∈IR
(f+g)(x)=f(x)+g(x)= ax+b + a'x+b'
= (a+a')x+(b+b')
donc f+g est une fonction affine ainsi f+g ∈𝔽.
On dit que l'application som (ou tout simplement +) est une loi de composition interne définie sur 𝔽 et on écrit (𝔽 ; +).
L'écriture (𝔽 ; +) signifie que + est une loi de composition interne définie sur 𝔽.

1.1.2 Espace vectoriel

Soit V le plan vectoriel (ou l'espace vectoriel).
On définit le produit scalaire p ou (.)
(∀(u ; v)∈V×V ): p(u ; v)=u.v
u.v est un réel n'est pas un vecteur
alors le produit scalaire (.) n'est pas une loi de composition interne car (u.v∉V).

1.1.3 L'application som (+) dans l'ensemble IN

(∀(n ; m)∈IN×IN): som(n;m)=n+m est aussi un élément de IN.
L'applicatin som ou (+) est donc une LCI dans IN
on écrit donc (IN ; +).

1.1.4 L'application soustraction sou

(-) n'est pas une LCI
car sou(4 ; 3) = 4-3 = -1
et -1∉IN donc sou( 4 ; 3)∉IN.

1.1.5 Ensemble ℤ/nℤ

+ est une LCI dans ℤ/nℤ avec n∈IN*
Car (∀(x ; y)): x + y∈ℤ/nℤ.
× est une LCI dans ℤ/nℤ avec n∈IN*
Car (∀(x ; y)): x . y∈ℤ/nℤ.

1.2 Loi de composition interne et Partie stable

1.2.1 Définition

Soit E un ensemble.
Une application f définie de E×E vers E est appelée loi de compostion interne (LCI).

Notation
Une LCI f est notée par l'un des symboles + ; . ; * ; T ; ⊥ ..
On écrit xTy au lieu d'écrire f(x;y).
L'ensemble E muni d'une LCI T est noté (E;T).

Exemples
1) Soit E={1;2;3}. L'ensemble des parties de E
ℙ(E)={∅ ; {1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};1;2;3}}.
2) Soit E un ensemble fini
∀(A;B)∈(ℙ(E))²: A∪B∈P(E) donc l'union ∪ est une LCI dans P(E) et on écrit (ℙ(E);∪).
3) Soit E un ensemble fini
∀(A;B)∈(ℙ(E))²: A∩B∈ℙ(E) donc l'intersection ∩ est une LCI dans ℙ(E) et on écrit (ℙ(E);∩).