1.2.2 Propriétés d’une LCI

(1) Commutativité Soit (E ; T) un ensemble.
La LCI T est commutative dans E
si (∀(x;y)∈E): xTy = yTx.

Exemples
1) La LCI ∪ est commutative dans l'ensemble des fonctions (F ; ∪).
2) La LCI o n'est pas commutative dans l'ensemble des applications (A ; o) , car gof≠fog.
3) La LCI - n'est pas commutative dans IR car 5-2≠2-5.

(2) Associativité
Soit (E ; T) un ensemble.
La LCI T est associative dans E
si (∀(x;y;z)∈E³): xT(yTz)=(xTy)Tz.

Exemples
Les LCI + et × sont associatives dans IN ; ℤ ; ℚ ; IR et ℂ
(2+5)+8 = 2+(5+8)
(7 × 10) ×2 = 7 ×(10 × 2).
(1+i + (2-5i))+14-i = 1+i + (2-5i + 14-i).

(3) Elément neutre
Soit (E ; T) un ensemble et e∈E.
e est un élément neutre pour T
si (∀x∈E): (xTe = x) et (eTx = x).

Exemple
Id est l'élément neutre de l'ensemble des bijections (B;o) dans E.

(4) Elément symétrique
Soient (E ; T) un ensemble ; e élément neutre pour T et x∈E .
x est symétrisable (ou admet un symétrique ) dans E
si (∃x'∈E): (xTx' = e) et (x'Tx = e).
x' est noté x^-1 et pas forcement l'inverse !

Exemple
Une bijection f est symétrisable, sa bijection réciproque f^-1 est son symétrique
car fof^-1 = f^-1of = Id.

1.2.3 Unicité de l'élément neutre et de l'élément symétrique d'un élément

(1) Théorème de l'unicité de l'élément neutre
Soit E un ensemble muni d'une LCI T
si T admet un élément neutre e alors il est unique.

Démonstration On suppose que T admet deux éléments neutres e et e'.
On a ∀x∈E: xTe = eTx = x.

En particulier pour x=e'
donc e'Te = eTe' = e' (1).
De même on a
(∀x∈E): xTe' = e'Tx = x en particulier pour x=e
donc eTe' = e'Te = e (2).
de (1) et (2) on obtient que e=e' cqfd.

(2) Théorème de l'unicité de l'élément symétrique
Soit E un ensemble muni d'une LCI T associative et a∈E.
Si a' est un élément symétrique de a alors il est unique.

Démonstration Soit a∈E.
Supposons que a admet deux éléments symétriques a' et a".
aTa'=e et aTa"=e
donc a"T(aTa')=a"T(aTa")=a"Te.

Ou encore (a"Ta)Ta' = a"
ou encore (eTa') = a"
donc a'=a" cqfd.

Propriété
Soient (E;T) un ensemble muni de la LCI T et x;y;a;b∈E.
(x=y et a=b) ⇒ aTx=bTy.

Démonstration Soient x;y;a;b∈E.
(x=y et a=b) ⇒ (a;x)=(b;y) ⇒ aTx = bTy.

Résultat
(∀c∈E): x=y ⇒ (cTx=cTy et xTc=yTc).