1.5 Homomorphisme et Ensembles munis de deux LCI

1.5.1 Homomorphisme et isomorphisme

Homomorphisme (Définition)
Soient (E;T) et (F;⊥) deux ensembles.
On dit qu'une application f de E dans F est un homomorphisme ou tout simplement morphisme de E dans F
si (∀(x;y)∈E²): f(xTy) = f(x)⊥f(y).

Exemples
Soient (IR^+*;.) et (IR ; +) deux ensembles tels que (.) et (+) sont deux lois de composition interne.
1) La fonction logarithme népérien ln est un morphisme de IR^+* dans IR
car (∀(x;y)∈IR^+*×IR^+*):
ln(x.y) = ln(x) + ln(y).
2) La fonction exponentielle exp est un morphisme de (IR;+) dans (IR ^+*;.)
car (∀(x;y)∈IR×IR): e^(x+y) = e^x.e^y.

Remarque
Si E=F l'homomorphisme dans E est appelé Endomorphisme dans E.

Propriété 1
Soit f un homomorphisme de (E ; ⊥) vers (F ; T).
Si une partie A de E est stable
dans (E ; ⊥) alors f(A) est aussi stable
dans (F ; T).
En d'autre terme
(∀(x;y)∈A²): (x⊥y)∈A ⇒ (f(x)Tf(y)∈f(A)).

Propriété 2
Si e est l'élément neutre de E alors f(e) est l'élément neutre de F.
Propriété 3
Si a est le symétrique de b dans (E ; ⊥) alors f(a) est le symétrique de f(b)
dans (F ; T).

Isomorphisme (Définition)
Soient (E;T) et (F;⊥) deux ensembles.
On dit qu'une application f de E dans F est un isomorphisme si f est un homomorphisme bijectif.

Exemples
1) La fonction ln est un homomorphisme et bijectif de IR^*+ vers IR, donc est un isomorphisme.
2) La fonction exp est un isomorphisme de IR vers IR^*+.

Remarque
Si E=F alors l'isomorphisme dans E est appelé Automorphisme dans E.

1.5.2 Ensemble muni de deux LCI

Distributivité
Soit (E ; ⊥ ; T) un ensemble muni de deux LCI ⊥ et T.
On dit que T est distributive sur ⊥ si les deux condtions ci-dessous sont vérifiées:
1) (∀(x;y;z)∈E³):
xT(y⊥z)=(xTy)⊥(xTz).
2) (∀(x;y;z)∈E³):
(y⊥z)Tx=(yTx)⊥(zTx).

Exemple
(IR ; +; ×) est un ensemble muni de deux LCI + et ×.
On a ∀(a;b;c)∈IR³
a×(b+c)=(a×b)+(a×c)
et ∀(a;b;c)∈IR³:
(b+c)×a=(b×a)+(c×a)
donc × est distributive sur (+).
Notons que + n'est pas distributive sur ×
car 2+(3×4)≠(2+3)×(2+4).

Exercice 1 tp

1) Montrer que ∪ est distributive par rapport à ∩.
2) Montrer que ∩ est aussi distributive par rapport à ∪.