3.3 Fonction racine d'ordre n d'une fonction

3.3.1 Exemple

Soit f une fonction numérique définie sur IR⁺ par f(x)=x³.
f est un polynôme continue et strictement croissante sur IR⁺ donc elle admet une fonction réciproque f^-1 définie sur IR⁺
par f^-1(x)=∛x.
Le nombre ∛x est appelé racine cubique de x.

3.3.2 Définition

Soit n ∈IN*. La réciproque de la fonction x→ xⁿ sur IR⁺ est appelée racine d'ordre n et est notée ⁿ√x.

Exemples
(x=a² avec a≥0) ⇔ (a=√(x) avec x≥0)
(x=a³ avec a≥0) ⇔ (a=∛(x) avec x≥0)
(x=a⁴ avec a≥0) ⇔ (a=⁴√(x) avec x≥0)

3.3.3 Propriétés

Propriétés 1 Soient x et y deux nombres réels positifs et n;m∈IN*.

n√(x y)		=	n√x . n√y
(n√x)m		=	n√xm
n√xn		=	(n√x)n = x

Propriété 2 Soient x et y deux réels positifs avec y>0 et n∈IN*.

n√(x)	= n√	x
n√(y)		y

Propriétés 3 Soient x et y deux réels positifs et n;m∈IN*.

n√x = n√x	⇔	x=y
n√x < n√y	⇔	x < y

Propriété 4 Soient x et y deux réels positifs et n;m∈IN*.

ⁿ√^m√x = ^nm√x

Démonstration
^nm√x = y ⇔ x = y^nm ⇔ x=(yⁿ)^m
⇔ yⁿ = ^m√x ⇔ y=ⁿ√(^m√x)
donc ^nm√x = ⁿ√(^m√x).

Exercice 1 tp

Simplifier
1) A = ∛√125.
2) B = ⁴√(81x2401).
3) C = √(³√729).

4) D = ∛(	8	)
	27

Correction

1) A = ∛√125 ⇔ A = ∛(5³) = 5
ainsi A = 5.

2) B = ⁴√(81×2401)⇔B=⁴√(81)×⁴√(2401)
⇔ B = ⁴√(3⁴) × ⁴√(7⁴)
⇔ B = 3 × 7 = 21
ainsi B = 21.
3) C = √(∛√729) ⇔ C = ∛√(√729)
⇔ C=∛(27) ⇔ C=∛(³) = 3
ainsi C = 3.

4) D = ∛(	8	) ⇔	D =	∛(8)
	27			∛(27)

⇔	D =	∛(2³)
		∛(3³)
⇔	D =	2
		3

Exercice 2 tp

Rendre les dénominateurs des nombres suivants rationnelles

A =	1	et B =	1
	3√2 +1		3√(5) - 3√(2)

3.3.4 Propriété

Si f est une fonction positive et continue sur I
alors √f et ⁿ√f sont continues sur I.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = ⁿ√(x²+5).
Montrer que f est continue sur IR .

Correction

(∀x∈IR): x²+5 > 0 et x→x²+5 est continue sur IR.
donc x→ⁿ√(x²+5) est continue sur IR.