3.4 Fonctions réciproques usuelles

3.4.1 f: x→ⁿ√(x)

Propriété
Soit n∈IN*.
La fonction x→ⁿ√(x) est bijective et strictement croissante sur IR⁺
et sa fonction réciproque x→xⁿ est définie sur IR⁺ par
(∀(x;y)∈(IR⁺)²): ⁿ√y = x ⇔ y = xⁿ.

Exemples
1) Si f(x) = ∛(x) avec x∈IR⁺
alors f^-1(x) = x³ avec x∈IR⁺.
2) Si f(x)= ⁴√(x) avec x∈IR⁺
alors f^-1(x) = x⁴ avec x∈IR⁺.

Cas particulier
La fonction x→ √x est bijective et strictement croissante sur IR⁺ et sa fonction réciproque
x→x² est définie sur IR⁺ par
(∀(x;y)∈IR⁺²): √y = x ⇔ y = x².

3.4.2 g: x→Arctan(x)

Rappel
La fonction tan est bijective de l'intervalle

]	-π	;	π	[
	2		2

vers IR donc elle admet une bijection réciproque.

Définition
La fonction réciproque de la fonction tan est appelée fonction arctangente et est notée arctan.
arctan est définie de IR vers l'intervalle

I = ]	-π	;	π	[
	2		2

(∀(x;y)∈IR×I): arctan(x)=y ⇔ x=tan(y)

Exemples
tan0=0 ⇔ arctan(0)=0.

tan(	π	) = 1 ⇔ arctan(1) =	π
	4		4
tan(	- π	)= -√3 ⇔ arctan(- √3) =	- π
	3		3

Résultat 1
La fonction arctan est une fonction impaire.

Démonstration
Soit x∈IR donc -x∈IR
arctan(-x)=y ⇔ -x=tan(y)
⇔ x=tan(-y) car tan est impaire

⇔ -y=arctan(x) ⇔ y=-arctan(x)
et donc (∀x∈IR) on a arctan(-x) = -arctan(x)
ainsi arctan est une bijection impaire.

Résultat 2
La fonction arctan est continue et strictement croissante sur IR
et sa courbe représentative est la symétrie de la courbe de la fonction tan sur l'intervalle

I = ]	-π	;	π	[
	2		2

par rapport à la droite d'équation y=x.

Résultat 3

lim - ∞	arctan(x) =	- π
		2
lim + ∞	arctan(x) =	π
		2

Propriété
Soit x∈IR*.
Si x > 0 alors

arctan(x) + arctan(	1	) =	π
	x		2

Si x < 0 alors

arctan(x) + arctan(	1	) =	- π
	x		2

Démonstration
Notons que si x≠kπ

tan(	π	- x) =	1
	2		tan(x)
tan(	π	+ x) =	- 1
	2		tan(x)

Soit x>0 on a x≠0.

tan(	π	- arctan(x)) =	1
	2		tan(arctan(x))

=	1
	x

⇒	π	- arctan(x) = arctan(	1	)
	2		x

et donc ∀x∈]0;+∞[

arctan(x) + arctan(	1	) =	π
	x		2

Si x < 0 alors x≠0

tan(	- π	- arctan(x)) = - tan(	π	+ arctan(x))
	2		2

- tan(	π	+ arctan(x)) =	1
	2		tan(arctan(x))

=	1
	x

⇒	- π	- arctan(x) = arctan(	1	)
	2		x

et donc ∀x∈]-∞ ; 0[

arctan(x) + arctan(	1	) =	- π
	x		2