1- اتصال دالة عددية في نقطة

1.1 انشطة

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي :

	x≠1, f(x)=	1-x
		1-√x
	x=1,	f(1)=2

1) حدد Df.
2) i. احسب lim_x→1+f(x) و lim_xx→1-f(x)
ii. استنتج lim_x→1f(x)=f(1)
مثل هذه الدالة تسمى دالة متصلة في النقطة 1

1.2 تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مركزه a.
نقول ان f دالة متصلة في a اذا
lim_x→af(x)=f(a)
وبتعبير آخر (تعريف الاتصال)
f دالة متصلة في a تكافئ
(∀ε>0)(∃β>0)(∀x∈D)(|x-a|<β⇒|f(x)-f(a))|<ε

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي :

	x≠-2, f(x)=	3x²-12
		x+2
	x=-2,	f(-2)=-12

بين ان f متصلة في a=-2 بطرقتين

تصحيح :

الطريقة الاولى
لدينا f(-2)=-12, نحسب نهاية f عند a=-2

limx→-2f(x)=limx→-2	3x²-12
	x+2
=limx→-2	3(x²-4)
	x+2

lim_x→-2f(x)=lim_x→-23(x-2)=-12=f(-2)
وهدا يعني ان f دالة متصلة في a=-2

الطريقة الثانية: استعمال التعريف
ليكن ε>0 و x∈Df
لدينا: |x-(-2)|=|x+2|
و |f(x)-f(-2)|=|(3x²-12)/(x+2) +12|=|3x+6|=3|x+2|
اذن β موجودة يكفي وضع β=ε/3 اذن |x+2|<ε/3⇒3|x+2|<ε
ومنه فان , (∀ε>0)(∃β=ε/3 >0)(∀x∈Df)(|x+2|<β
⇒|f(x)-f(-2))|<ε
وبالتالي f متصلة في a=-2

2- الاتصال على اليمين والاتصال على اليسار

2.1 الاتصال على اليمين

تعريف :

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع [a;a+r[ حيث r>0
نقول ان f متصلة عند a على اليمين اذا lim(_a+)f(x)=f(a)

2.2 الاتصال على اليسار

تعريف :

لتكن f دالة معرفة على مجال من نوع ]a-r;a] حيث r>0
نقول ان f دالة متصلة عند a على اليسار اذا lim(_a-)f(x)=f(a)

2.3 مبرهنة

لتكن f دالة معرفة على مجال مركزه a
الدالة f متصلة في النقطة a يكافئ f متصلة في a على اليمين ومتصلة في a على اليسار

تمرين

ادرس اتصال الدالة f في 2

	f(x)=-x²+4x, x≤2
	f(x)=√(4x²+x-2), x>2

تصحيح

لدينا : f(2)=-2²+4.2=4,
1) lim_2-f(x)=lim_2-(-x²+4x)
=-2²+4.2=4=f(2) اذن f متصلة في 2 على اليسار .
2) lim₂₊f(x)=lim₂₊√(4x²+x-2)
=√(4.2²+2-2)=√(16)=4
اذن lim₂₊f(x)=f(2) ومنه فان f متصلة في 2 على اليمين
وبالتالي f متصلة في 2

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي

1) حدد D		f(x)=2x²-13, x< 2
		f(x)=x-3, x>2
		f(2)=a

2. بين ان f تقبل نهاية منتهية L , عند 2 يجب تحديدها .
3. استنتج قيمة a لكي تكون f متصلة في 2

3- الاتصال على مجال

3.1 تعريف 1

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I, نقول ان f متصلة على المجال I, اذال كانت متصلة في كل نقطة من المجال I

3.2 تعريف 2

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I=[a;b], f متصلة على I اذا تحققت الشروط التالية :
1. f متصلة على المجال ]a;b[
2. f متصلة في النقطة a على اليمين
3. f متصلة في النقطة b على اليسار .

تمرين هنا ..

4- العمليات على الاتصال

4.1 خاصيات

لتكن f و g دالتين معرفتين على مجال I و k∈IR
الدوال f+g و kf و f.g متصلة على المجال I
اذا ∀x∈I , g(x)≠0 فان :

1	و	f
g		g

متصلة كذلك على المجال I.

تصحيح

الخاصيات السالفة تبقى صحيحة بالنسبة للاتصال في نقطة

4.2 الدوال الحدودية

4.2.1 خاصية

الدوال الحدودية متصلة على IR.

4.2.2 مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي:
f(x)=2x³+x²+3 لدينا f دالة حدودية اذن متصلة على IR.

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي:

	f(x)=-x²+4x, x≤2
	f(x)=x+2, x>2

ادرس اتصال الدالة f على IR

تصحيح

1- ندرس اتصال f على المجال المفتوح ]-∞;2[
لدينا : x→-x²+4x قصور دالة حدودية
على المجال ]-∞;2[, اذن متصلة على IR وبالخصوص على المجال ]-∞;2[, اذن f متصلة على ]-∞;2[
2- ندرس اتصال f على المجال المفتوح ]2;+∞[
لدينا : x→x+2 قصور دالة حدودية
على المجال ]2;+∞[, اذن متصلة على IR وبالخصوص على المجال ]2;+∞[, اذن f متصلة على ]2;+∞[
3- ندرس الاتصال في 2
لدينا : f(2)=-2²+4.2=4
lim_2-f(x)=lim_2-(-x²+4x) =4=f(2) lim₂₊f(x)=lim₂₊(x+2) =2+2=4=f(2)

اذن f متصلة على اليمين وعلى اليسار في 2 , اذن f متصلة في 2 لدينا اذن f متصلة على ]-∞;2[; ]2;+∞[ وفي 2
وبالتالي f متصلة على IR.

4.3 الدوال الجذرية

4.3.1 نتيجة

كل دالة جذرية متصلة على مجموعة تعريفها

4.3.2 مثال

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي :

f(x)=	3x+1
	x²-1

1- حدد D, مجموعة تعريف الدالة f
2- ادرس اتصال الدالة f على D.

تصحيح

1- f معرفة اذا x²-1≠0 اي x≠-1 و x≠1
اذن D=IR\{-1;1}
2- f دالة جذرية اذن متصلة على مجموعة تعريفها D