النهايات والاتصال (1)
1- اتصال دالة عددية في نقطة
1.1 انشطة
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي :
x≠1, f(x)= | 1-x | |
1-√x | ||
x=1, | f(1)=2 |
2) i. احسب limx→1+f(x) و limxx→1-f(x)
ii. استنتج limx→1f(x)=f(1)
مثل هذه الدالة تسمى دالة متصلة في النقطة 1
1.2 تعريف
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مركزه a.
نقول ان f دالة متصلة في a اذا
limx→af(x)=f(a)
وبتعبير آخر (تعريف الاتصال)
f دالة متصلة في a تكافئ
(∀ε>0)(∃β>0)(∀x∈D)(|x-a|<β⇒|f(x)-f(a))|<ε
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي :
x≠-2, f(x)= | 3x²-12 | |
x+2 | ||
x=-2, | f(-2)=-12 |
تصحيح :
الطريقة الاولى
لدينا f(-2)=-12, نحسب نهاية f
عند a=-2
limx→-2f(x)=limx→-2 | 3x²-12 |
x+2 | |
=limx→-2 | 3(x²-4) |
x+2 |
وهدا يعني ان f دالة متصلة في a=-2
الطريقة الثانية: استعمال التعريف
ليكن ε>0 و x∈Df
لدينا: |x-(-2)|=|x+2|
و |f(x)-f(-2)|=|(3x²-12)/(x+2) +12|=|3x+6|=3|x+2|
اذن β موجودة يكفي وضع β=ε/3 اذن |x+2|<ε/3⇒3|x+2|<ε
ومنه فان , (∀ε>0)(∃β=ε/3 >0)(∀x∈Df)(|x+2|<β
⇒|f(x)-f(-2))|<ε
وبالتالي f متصلة في
a=-2
2- الاتصال على اليمين والاتصال على اليسار
2.1 الاتصال على اليمين
تعريف :
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع [a;a+r[ حيث
r>0
نقول ان f متصلة عند a على اليمين اذا lim(a+)f(x)=f(a)
2.2 الاتصال على اليسار
تعريف :
لتكن f دالة معرفة على مجال من نوع ]a-r;a] حيث r>0
نقول ان f دالة متصلة عند a على اليسار اذا lim(a-)f(x)=f(a)
2.3 مبرهنة
لتكن f دالة معرفة على مجال مركزه a
الدالة f متصلة في النقطة a يكافئ f متصلة في a على اليمين ومتصلة في a على اليسار
تمرين
ادرس اتصال الدالة f في 2
f(x)=-x²+4x, x≤2 | |
f(x)=√(4x²+x-2), x>2 |
تصحيح
لدينا : f(2)=-2²+4.2=4,
1) lim2-f(x)=lim2-(-x²+4x)
=-2²+4.2=4=f(2) اذن f متصلة في 2 على اليسار .
2) lim2+f(x)=lim2+√(4x²+x-2)
=√(4.2²+2-2)=√(16)=4
اذن lim2+f(x)=f(2) ومنه فان f متصلة في 2 على اليمين
وبالتالي f متصلة في
2
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
1) حدد D | f(x)=2x²-13, x< 2 | |
f(x)=x-3, x>2 | ||
f(2)=a |
3. استنتج قيمة a لكي تكون f متصلة في 2
3- الاتصال على مجال
3.1 تعريف 1
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I, نقول ان f متصلة على المجال I, اذال كانت متصلة في كل نقطة من المجال I
3.2 تعريف 2
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I=[a;b],
f متصلة على I اذا تحققت الشروط التالية :
1. f متصلة على المجال ]a;b[
2. f متصلة في النقطة a على اليمين
3. f متصلة في النقطة b على اليسار .
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي :
f(x)=x²-1, 0< x< 1 | |
f(0)=-1 و f(1)=-1 |
4- العمليات على الاتصال
4.1 خاصيات
لتكن f و g دالتين معرفتين على مجال I و k∈IR
الدوال f+g و kf و f.g متصلة على المجال I
اذا ∀x∈I , g(x)≠0 فان :
1 | و | f |
g | g |
تصحيح
الخاصيات السالفة تبقى صحيحة بالنسبة للاتصال في نقطة
4.2 الدوال الحدودية
4.2.1 خاصية
الدوال الحدودية متصلة على IR.
4.2.2 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي:
f(x)=2x³+x²+3
لدينا f دالة حدودية اذن متصلة على IR.
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي:
f(x)=-x²+4x, x≤2 | |
f(x)=x+2, x>2 |
تصحيح
1- ندرس اتصال f على المجال المفتوح ]-∞;2[
لدينا : x→-x²+4x قصور دالة حدودية
على المجال ]-∞;2[,
اذن متصلة على IR وبالخصوص على المجال ]-∞;2[,
اذن f متصلة على ]-∞;2[
2- ندرس اتصال f على المجال المفتوح
]2;+∞[
لدينا : x→x+2 قصور دالة حدودية
على المجال
]2;+∞[,
اذن متصلة على IR وبالخصوص على المجال
]2;+∞[,
اذن f متصلة على
]2;+∞[
3- ندرس الاتصال في 2
لدينا : f(2)=-2²+4.2=4
lim2-f(x)=lim2-(-x²+4x) =4=f(2)
lim2+f(x)=lim2+(x+2) =2+2=4=f(2)
اذن f متصلة على اليمين وعلى اليسار في 2 ,
اذن f متصلة في 2
لدينا اذن f متصلة على ]-∞;2[; ]2;+∞[ وفي 2
وبالتالي f متصلة على IR.
4.3 الدوال الجذرية
4.3.1 نتيجة
كل دالة جذرية متصلة على مجموعة تعريفها
4.3.2 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي :
f(x)= | 3x+1 |
x²-1 |
2- ادرس اتصال الدالة f على D.
تصحيح
1- f معرفة اذا x²-1≠0 اي x≠-1 و x≠1
اذن D=IR\{-1;1}
2- f دالة جذرية اذن متصلة على مجموعة تعريفها D