النهايات والاتصال (2)
4.4 الدوال المثلثية
خاصية
1. الدالتان sin و cos متصلتين على IR
2. الدالة tan متصلة على كل مجال على الشكل
| ]- | π | +kπ; | π | +kπ[ ; k∈ℤ |
| 2 | 2 |
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| { | f(x)= | 2x+sinx |
| x | ||
| f(0)=3 |
1. بين ان f دالة متصلة على IR*
2. هل الدالة f متصلة في 0?
تصحيح
1. لدينا f معرفة اذا كان x≠0 اذن D=IR*
الدالة x→2x+sinx هي مجموع دالتين متصلتين على IR وبالخصوص على IR*
الدالة x→x متصلة على IR وبالخصوص على IR*
بالاضافة انها لا تنعدم في IR*
اذن الدالة f متصلة على IR*
2. ندرس الاتصال في 0 لاحظ ان 0 ينتمي الى مجموعة التعريف لان f(0)=3
| lim0f(x)=lim0 | 2x | + | sinx |
| x | x |
اذن lim0f(x)=2+1=3=f(3)
اذن f متصلة في 0
4.5 الدالة √x
4.5.1 خاصية
الدالة x→√(x) متصلة على IR+
4.5.2 مثال
ادرس اتصال الدالة f:→sinx+√(x) على D.
تصحيح
1- f هي مجموعة دالتين , D=IR∩[0;+∞[ اذن D=[0;+∞[
2- لدينا sin متصلة على IR, اذن متصلة على
[0;+∞[
و √ متصلة على
[0;+∞[, اذن
f متصلة على
[0;+∞[.
5- الجزء الصحيح E(x)
5.1 تذكير
ليكن x عددا حقيقيا
E(x)=a ⇔ a≤ x < a+1 حيث a∈ℤ
5.2 امثلة
. E(0,5) = 0 ; E(3,14)=3
. E(-12,7)=-13
; E(-√7)=-3
. E(4) = 4 ; E(-8)= -8
5.3 خاصية
الدالة E(x) غير متصلة على IR, ولكن متصلة في كل مجال من نوع [n;n+1[ حيث n∈ℤ .
6- التمديد بالاتصال في نقطة
6.1 انشطة
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x)=2x²-13, x< 2 | |
| f(x)=x-3, x>2 |
1. حدد Df
2. بين ان f تقبل نهاية منتهية L ,يجب تحديدها.
3) استنتج ان الدالة g المعرفة بما يلي
| g(x)=f(x), x≠2 | |
| g(2)=L |
متصلة في 2
الدالة g تسمى تمديدا بالاتصال للدالة f في
2.
6.2 تعريف
ليكن I مجالا و a∈I و f دالة معرفة ومتصلة على I\{a}
اذا كانت f تقبل نهاية منتهية L في النقطة a فان الدالة g المعرفة على المجال I ب :
| g(x)=f(x), x∈I\{a} | |
| g(a)=L |
تسمى تمديدا بالاتصال للدالة f في a.
نقول ايضا, f قابلة للتمديد بالاتصال في النقطة a.
تمرين
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي :
| f(x)= | 2x²+√x |
| √x |
1. بين ان f متصلة على IR+*
2. هل الدالة f قابلة للتمديد بالاتصال في
0?
7- صورة مجال بدالة متصلة
7.1 خاصية
صورة قطعة طرفاها a و b بدالة متصلة هي قطعة
وصورة مجال بدالة متصلة هي مجال. ( ليس بالضرورة من نفس النوع )
مثال
f(x)=-1/x , 0< x< 1
f(x)=-x , 1≤x < 2
صورة المجال I=]0;2[ ب f هي f(I)=]-∞;-1].
7.2 خاصيات
| f متصلة وتزايدية قطعا |
f متصلة وتناقصية قطعا |
|---|---|
| f([a;b])=f[f(a);f(b)] | f([a;b])=[f(b;f(a))] |
| f(]a;b])=]lim>af(a);f(b)] | f(]a;b])=[f(b);lim>af(x)[ |
| f([a; +∞[)=[f(a); lim+∞f(x)[) | f([a; +∞[)=]lim+∞f(x); f(a)]) |
تمرين 1
انطلاقا من منحنى الدالة f حدد صورة كل من المجالات التالية بواسطة الدالة f
[-2;-1] ; [-2;0] ; [0;2] ; [0;3]
تمرين 2
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي f(x)=x²+4x
حدد : f(]-∞;-3]) ; f([-2;0]) ; f([-1;+∞[)
8- اتصال مركب دالتين
8.1 خاصيات
8.1.1 خاصية 1
اذا f متصلة على I و g متصلة على J يتضمن f(I) فان الدالة gof متصلة على I.
8.1.2 خاصية 2 ; a→f(a)→g(f(a)
اذا f متصلة في a و g متصلة في f(a) فان gof متصلة في a
برهان
ليكن ε>0 و x∈I
|x-a|< β=?⇒|gof(x)-gof(a)|< ε
لدينا |gof(x)-gof(a)|=|g(f(x))-g(f(a))|
(∀ε>0)(∃β>0)(∀x∈I):|x-a|<β
⇒|f(x)-f(a)|<ε
وبما ان g متصلة في f(a) فان
(∀ε'>0)(∃β'>0)(∀y∈f(I)):|y-f(a)|<β
⇒|g(y)-f(a)|<ε
لدينا y∈f(I) نضع اذن y=f(x) ومنه فان
(∀ε'>0)(∃β'=ε>0)(∀x∈I:|f(x)-f(a)|<β'
⇒|g(f(x))-f(a)|<ε' وهذا هو المطلوب
8.1.3 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي : f(x)=cos(2x+1)
ادرس اتصال الدالة f على Df
تصحيح
f مركبة cos والدالة التآلفية u:x→2x+1 لدينا
u متصلة على IR و cos متصلة على IR
اذن متصلة على u(IR)
ومنه فان f متصلة على IR.
8.1.4 نتيجة
اذا كانت f موجبة ومتصلة على I فان √f متصلة على I