11.4 خاصية

اذا f موجبة ومتصلة على مجال I فان √f و ⁿ√f متصلتان على I

تمرين

لتكن f: x→ⁿ√(x²+5)
بين ان f متصلة على IR

تصحيح :

لدينا ∀x∈IR: x²+5 > 0 والدالة x→x²+5 متصلة على IR
فان x→√(x²+5) و x→ⁿ√(x²+5) متصلتان على IR

12- الدوال العكسية الاعتيادية :

12.1 f:x→ⁿ√(x)

الدالة x→ⁿ√(x),n∈IN* تقابل وتزايدية قطعا على IR ودالتها العكسية x→xⁿ معرفة على IR+
لدينا ∀(x;y)∈IR+²: ⁿ√y=x⇔y=xⁿ

12.2 g: x→Arctan(x)

لدينا الدالة tan تقابل من ]-π/2 ; π/2[ نحو IR, اذن تقبل تقابل عكسي

12.2.1 تعريف

الدالة العكسية للدالة tan تسمى arctangente ونرمز لها ب Arctan
ومعرفة من IR نحو ]-π/2 ; π/2[.
∀(x;y)∈IR×]-π/2 ; π/2[: arctan(x)=y⇔x=tan(y)

12.2.2 امثلة

1. arctan(0)=0 لان tan0=0
2. arctan(1)=π/4 لان tan(π/4)=1
3. arctan(-√3)=-π/3 لان tan(-π/3)=-√3.

12.2.3 نتائج :

1. arctan دالة فردية
تبيان : لتكن x∈IR لدينا -x∈IR
arctan(-x)=y⇔-x=tan(y)
⇔x=tan(-y) لان tan فردية
⇔-y=arctan(x)⇔y=-arctan(x)
∀x∈IR; arctan(-x)=-arctan(x) ومنه فان الدالة arctan فردية.
2. Arctan دالة متصلة وتزايدية قطعا على IR
3. منحناها مماثل لمنحنى الدالة tan على ]-π/2 ; π/2[ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته y=x

4. lim_x-∞Arctan(x)=-π/2
و lim_x+∞Arctan(x)=π/2

12.2.3 خاصية

لتكن x∈IR*.
اذا كان x>0 فان arctan(x)+arctan(1/x)=π/2
اذا كان x< 0 فان arctan(x)+arctan(1 / x)=-π/2

برهان:

للتذكير :x≠kπ لدينا : tan(π/2 -x)=1/tan(x)
و tan(π/2 +x)=-1/tan(x).
ليكن x>0 لدينا : x≠0 و tan(π/2 -arctan(x))=1/tan(arctan(x))=1/x
اذن π/2 -arctan(x)=arctan(1/x)
اي arctan(x)+arctan(1/x)=π/2
ليكن x< 0 لدينا : x≠0
و tan(-π/2 -arctan(x))=-tan(π/2 +arctan(x))
=1/tan(arctan(x))=1/x
اذن -π/2 -arctan(x)=arctan(1/x)
اي arctan(x)+arctan(1/x)=-π/2

13- القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا

13.1 تعريف

ليكن x∈IR*+ و r عدد جذري غير منعدم بحيث

p∈Z* و q∈IN* حيث	r =	p
		q

العدد x^r يسمى قوى جذرية للعدد x ونكتب x^r=^q√x^p

امثلة :

3^2/5 = ⁵√3² ; 2^4/3 = ³√2⁴
π^-5/7 = ⁷√π^-5

13.2 خاصيات

ليكن x>0 و r∈Q*; الدالة x→x^r متصلة على IR*+
ليكن x و y عددين حقيقيين موجبين قطعا و r و r' عددين جذريين وغير منعدمين