Limites et Continuité (6)
1.5 Prolongement par continuité en un point
1.5.1 Activité
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | 2x²-13 | si x < 2 | |
| f(x) = | x-3 | si x > 2 |
1) Déterminer D.
2) Montrer que f admet une limite finie L.
3) Déduire que la fonction g définie par
| g(x) = | f(x) | si x≠2 | |
| g(2) = | L |
est continue au point 2.
La fonction g est appelée prolongement par continuité de f en 2.
1.5.2 Définition
Soient I un intervalle ; a∈I et f une fonction définie et continue sur I\{a}.
Si f admet une limite finie L au point a alors la fonction g définie sur I par
| g(x) = | f(x) | si x∈I \{a} | |
| g(a) = | L |
est appelée prolongement par continuité de f en a.
On dit aussi f est prolongeable par continuité au point a.
Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x+sinx |
| x |
1) Montrer que f est continue sur IR*.
2) f est elle prolongeable par continuité au point 0 ?
Correction
1) f est définie si x≠0 donc D=IR*.
La fonction x→2x+sinx est la somme de deux fonctions continues sur IR en particulier sur IR*.
La fonction x→x est continue sur IR en particulier sur IR* de plus ne s'annule pas sur IR*.
ainsi la fonction f est continue sur IR*.
2) On calcule la limite de f au point 0.
lim 0 | f(x) = | lim 0 |
2x | + | sinx |
| x | x |
en utilisant les deux limites usuelles
lim 0 | x = 0 | lim 0 |
sinx | = 1 | |
| x |
on déduit que
lim 0 | f(x) = 2+1 = 3∈IR |
Donc f admet une limite finie au point 0 et donc f est prolongeable par continuité en 0
ainsi la fonction g définie de IR vers IR par
| g(x) = | f(x) | si x≠0 | |
| g(0) = | 3 | si x=0 |
est une prolongement par continuité de la fonction f au point 0.