Limites et Continuité (7)
2- Composée de deux fonctions
2.1 Image d’un intervalle par une fonction continue
2.1.1 Propriétés
1) L'mage d'un segment d'extrémités a et b par une fonction continue est un segment.
2) L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
(pas nécessairement de même type)
Exemple
| { | f(x) = | -1 | si 0< x<1 |
| x | |||
| f(x) = | - x | si 1≤x < 2 |
1) Déterminer f(]0;1[) et f([1;2[).
2) Déduire limage de l'intervalle ouvert I=]0;2[ par f.
Correction
f est continue sur ]0;2[.
Soit x∈]0;1[
x∈]0 ; 1[ ⇔ 0<x<1
| ⇔ | 1 | > 1 ⇔ | - 1 | < - 1 |
| x | x |
⇔ f(x)<-1
donc f(]0;1[)=]-∞;-1[.
On remarque que l'image de l'intervalle ouvert et borné ]0;1[ par la fonction f est un intervalle non borné et ouvert.
Soit x∈[1;2[
x∈[1;2[ ⇔ 1≤x<2
⇔ -2<-x≤-1
⇔ -2<f(x)≤-1
donc f([1;2[)=]-2;-1].
2) Soit x∈I
x∈I ⇔ x∈]0;1[ ou x∈[1;2[
donc f(I)=]-∞;-1[∪]-2;-1]=]-∞;-1].
On remarque que l'image de l'intervalle ouvert et borné ]0;2[ par la fonction f est un intervalle non borné et fermé à droite.
2.1.2 Propriétés
| Nature de f | f est continue et strictement croissante | f est continue et strictement décroissante |
|---|---|---|
| Image de I | f([a;b])=f[f(a);f(b)] | f([a;b])=[f(b;f(a))] |
| Image de I | f(]a;b])=]lim(a+) f(a);f(b)] | f(]a;b])=[f(b);lima+f(x)[ |
| Image de I | f([a; +∞[)=[f(a); lim+∞f(x)[) | f([a; +∞[)=]lim+∞f(x); f(a)]) |
Exemple 1
Soit f une fonction définie par f(x)=x²+2x.
Déterminer f(]-∞;-2]) ; f([-1;0]) et f([0;+∞[).
Correction
D'abord on étudie les variations de f sur chaque intervalle donné.
Soient x;y∈IR tels que x≠y.
f(x)-f(y) = x²+2x -(y²+2y)
=(x²-y²)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2)
| T(x;y) = | f(x) - f(y) | = x+y+2 |
| x-y |
Donc T(x ; y)= x+y+2 avec x≠y.
1) Si x;y∈]-∞ ; -2] alors x≤-2 et y≤-2
donc x+y < -4 (x≠y l'inégalité est stricte car x et y ne peuvent pas prendre la même valeur en même temps)
ou encore x+y+2 <-2 < 0 donc T(x;y) < 0
et cela signifie que f est strictement décroissante sur ]-∞;-2].
ainsi f(]-∞;-2])=[0;+∞[
car f(-2)=0.
lim -∞ | f(x) = | lim -∞ |
x² = +∞ |
2) Si x;y∈[-1 ; 0]
alors -1≤x≤0 et -1≤y≤0
donc -2 < x+y < 0 ou encore 0 < x+y+2 < 2
on a donc T(x;y) > 0 et cela signifie que f est strictement croissante sur [-1;0]
ainsi f([-1;0])=[-1;0] car f(-1)=-1 et f(0)=0.
3) Si x;y∈[0;+∞[ alors x≥0 et y≥0
donc x+y>0 ou encore x+y+2>2
Donc T(x;y)>0 et cela signifie que f est strictement croissante sur [0;+∞[
ainsi f([0 ;+∞[)=[0;+∞[ car f(0)=0
| et | lim +∞ | f(x) = | lim +∞ |
x² = +∞ |