2.2 Continuité de la composée de deux fonctions

2.2.1 Définition (Rappel)

Soient f une fonctions définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tel que f(I)⊂J.
La composée de f et g est une fonction, notée gof définie comme suit
(∀x∈I): gof(x)= g(f(x)).

2.2.2 Propriété 1

Si f est définie et continue sur un intervalle I et g est définie et continue sur un intervalle J contenant f(I) alors gof est continue sur l'intervalle I.

2.2.3 Propriété 2

Si une fonction f est continue en a et une fonction g est continue en f(a) alors la fonction gof est continue en a.

Démonstration Soit ε>0 et x∈I.
|x-a|< β=?⇒|gof(x)-gof(a)|< ε.
On a |gof(x)-gof(a)| = |g(f(x))-g(f(a))|
f est continue en a
donc (∀ε>0)(∃β>0)(∀x∈I):
|x-a|<β ⇒ |f(x)-f(a)| < ε

g est continue en f(a)
donc (∀ε₁>0)(∃β₁>0)(∀y∈f(I)):
|y-f(a)| < β ⇒ |g(y)-f(a)| < ε.
On a y∈f(I) posons donc y=f(x).
(∀ε₁>0)(∃β₁=ε>0)(∀x∈I: |f(x)-f(a)|<β₁
⇒|g(f(x))-f(a)|<ε₁.

Exemple
Soit f une fonction définie par: f(x)=cos(2x+1).
Etudier la continuité de f sur D.

Correction
f est la composée de la fonction cos et la fonction affine u:x→2x+1.

Les fonctions u et cos sont continues sur IR donc cos est continue sur u(IR)
ainsi f est continue sur IR.

2.2.4 Résultat

Si f est une fonction positive et continue sur un intervalle I alors √(f) est une fonction continue sur I.

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)= √(x²-1)-x
Etudier la continuité de f sur D.

2.2.5 Limite de la composée d’une fonction continue et une fonction qui admet une limite

Propriété Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J contenant f(I).

Remarque La propriété reste vraie quand x→±∞.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

Calculer

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

Calculer les limites suivantes