Mathématiques du secondaire qualifiant

Limite et Continuité (11)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie comme suit

{ f(x) = √(x+4) si x∈[-4;0]
f(x) = x²+2si x∈]0;4]

1) Etudier la continuité de f
sur I=[-4;4]
2) Déterminer f(I)

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définue par

f(x) = ∛(x²+4) - 2
x + 2

Calculer


lim
-2
f(x)

et déduire que f est prolongeable par continuité au point -2

Correction

On cherche la limite de f au point -2


lim
-2
f(x) =
lim
-2
∛(x²+4) - 2
x + 2

Pour se débarasser de la forme indéterminée , on utilise l'identité remarquable suivante
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + c²)

Donc


lim
-2
f(x) =

lim
-2
(∛(x²+4))³ - 2³
(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)
=
lim
-2
x² + 4 - 8
(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)
=
lim
-2
(x -2)(x + 2)
(x + 2)(∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4)
=
lim
-2
x - 2
∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4

On a


lim
-2
∛(x²+4))² + 2.∛(x²+4) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Donc


lim
-2
f(x) = -2 - 2 = - 1
12 3

Et donc f admet une limite finie au point -2 alors f est prolongeable par continuité au point -2

Et sa prolongement la fonction g définie par

g(x) = ∛(x²+4) - 2 si x ≠ -2
x + 2
g( - 2 ) = -1 si x = -2
3
Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie sur ]-2;2] par

{ f(x) = x-2 si x≠2
√(4-x²)
f(2) = m

Trouver m pour que f soit continue en 2.