Limite et Continuité (12)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x+sinx |
| x |
1) Montrer que f est continue sur IR*
2) f est elle prolongeable par continuité au point 0 ?
Correction
1) f est définie si x≠0 donc D=IR*
la fonction x→2x+sinx est la somme de deux fonctions continues sur IR en particulier sur IR*
La fonction x→x est continue sur IR en particulier sur IR*, de plus ne s'annule pas sur IR*
Ainsi la fonction f est continue sur IR*
2) On calcule la limite de f au point 1
lim 0 | f(x) = | lim 0 |
2x | + | sinx |
| x | x |
En utilisant les deux limites usuelles
lim 0 | x = 0 | lim 0 |
sinx | = 1 | |
| x |
On déduit que
lim 0 | f(x) = 2+1 = 3∈IR |
Donc f admet une limite finie au point 0 et donc f est prolongeable par continuité en 0
Ainsi la fonction g définie de IR vers IR par
| g(x) = f(x) | si x≠0 | |
| g(0) = 3 | si x=0 |
est une prolongement par continuité de la fonction f au point 0.