Limite et Continuité (13)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x/3 - 2 |
| 2x - 8 |
Montrer que f est prolongeable par continuité au point 3.
Correction
On cherche la limite de f au point 3
Notons que
2x/3 = ∛(2x)
| Donc f(x) = | ∛(2x) - 2 |
| 2x - 8 |
Pour se débarasser de la forme indéterminée , on utilise l'identité remarquable suivante
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + c²) donc
lim 3 |
f(x) = |
lim 3 |
(∛(2x))³ - 2³ |
| (2x -8)(∛(2x))² + 2.∛(2x) + 4) |
| = | lim 3 |
2x - 8 |
| (2x - 8)(∛(2x)² + 2.∛(2x) + 4) | ||
| = | lim 3 |
1 |
| ∛(2x)² + 2.∛(2x) + 4) |
On a
lim 3 | ∛(2x))² + 2.∛(2x) + 4 = 4 + 4 + 4 |
| = | 12 |
| Donc | lim 3 |
f(x) = | 1 |
| 12 |
Et donc f admet une limite finie au point 3 alors f est prolongeable par continuité au point 3 et sa prolongement la fonction g définie par
| g(x) = | ∛(2x) - 2 | si x ≠ 3 | |
| 2x - 8 | |||
| g( 3 ) = | 1 | si x = 3 | |
| 12 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie sur I = ]0 ; 2[ par
| f(x) = (x³-1)sin( | 1 | ) si x≠1 et f(1)=0 |
| x-1 |
1) Montrer que (∀x∈I): |f(x)-f(1)|≤3|x-1|
2) Déduire que f est continue en 1
Exercice 3 tp
Soit f une fonction définie comme suit
| { | f(x) = | √(1+sinx) - 1 | si x < 0 | |
| x | ||||
| f(x) = | √(1+x) - | 1 | si x≥0 | |
| 5 |
Etudier la continuité de f au point 0
Exercice 4 tp
Soit f est une fonction numérique définie par
| { | f(x) = | √(1+2cosx)-1 | si x≠π/2 |
| x - (π/2) | |||
| f(π/2) = | -1 |
1) Calculer
lim π/2 | f(x) |
2) f est elle continuité au point π/2 ?