Fonction Logarithme (10)
Exercice 1 tp
(I) Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(x²-2x+2) et (C) sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O;i→;j→)
1) (a) Vérifier que
(∀x∈IR): x²-2x+2=(x-1)²+1
(b) Déduire que f est définie sur IR puis calculer
lim +∞ | f(x) | et | lim - ∞ | f(x) |
2) Montrer que
(∀x∈IR): f(2-x)=f(x)
3) (a) Vérifier que
∀x∈[1;+∞[
| f(x) = 2ln(x)+ln(1- | 2 | + | 2 | ) |
| x | x² |
(b) Déduire que
lim +∞ | f(x) | = 0 |
| x |
puis intérpréter ce résultat
4) (a) Montrer que
| (∀x∈IR): f '(x) = | 2(x-1) |
| (x-1)²+1 |
(b) Tracer le tableau de variations de f sur IR
5) (a) Montrer que
| (∀x∈IR): f "(x) = | 2x(2-x) |
| [(x-1)²+1]² |
(b) Etudier la concavitée de la courbe (C)
c) Tracer la courbe (C)
(II) Soit h la restriction de f sur I=[1;+∞[
1) Montrer que h est une bijection de I vers l'intervalle J qui doit être spécifié
2) Déterminer h-1(x) tel que x∈J.