Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonction Logarithme (10)

Exercice 1 tp

(I) Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(x²-2x+2) et (C) sa courbe représentative dans un repère
orthonormé (O;i;j)
1) (a) Vérifier que
(∀x∈IR): x²-2x+2=(x-1)²+1
(b) Déduire que f est définie sur IR puis calculer


lim
+∞
f(x) et
lim
- ∞
f(x)

2) Montrer que
(∀x∈IR): f(2-x)=f(x)
3) (a) Vérifier que ∀x∈[1;+∞[

f(x) = 2ln(x)+ln(1- 2+ 2)
x

(b) Déduire que


lim
+∞
f(x) = 0
x

puis intérpréter ce résultat

4) (a) Montrer que

(∀x∈IR): f '(x) =2(x-1)
(x-1)²+1

(b) Tracer le tableau de variations de f sur IR
5) (a) Montrer que

(∀x∈IR): f "(x) =2x(2-x)
[(x-1)²+1]²

(b) Etudier la concavitée de la courbe (C)
c) Tracer la courbe (C)

(II) Soit h la restriction de f sur I=[1;+∞[
1) Montrer que h est une bijection de I vers l'intervalle J qui doit être spécifié
2) Déterminer h-1(x) tel que x∈J.