Fonction Logarithme (9)
Exercice 1 tp
Déterminer les fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | 2x+1 |
| x²+x+2 |
Correction
La fonction x→x²+x+2 est strictement positive et dérivable sur IR car (Δ< 0)
et (x²+x+2)'=2x+1 donc les fonctions x→ln(x²+x+2)+k tel que k∈IR sont les fonctions primitives de la fonction f
Exercice 2 tp
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | -4x³ |
| x4-81 |
Correction
D=]-∞;-3[∪]-3;3[ ∪]3;+∞[
x→x4-81 est dérivable et ne s'annule pas sur D
Donc l'ensemble des fonctions
x→-ln(|x4-81|)+k tel que k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f
Exercice 3 tp
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | cos(x) |
| sin(x) + 2 |
Correction
∀x∈IR on a sin(x) + 2 > 0
car -1 ≤ sinx ≤ 1
Donc D = IR
La fonction x→sin(x) + 2 est dérivable et ne s'annule pas sur D
| f(x) = | (sin(x) + 2)' |
| sin(x) + 2 |
Puisque (∀x∈IR) on a sin(x) + 2 > 0 alors
l'ensemble des fonctions
x→-ln(sin(x) + 2)+k tel que k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f
Exercice 4 tp
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | x |
| x+1 |
Correction
D = {x∈IR / x+1≠ 0}
Donc D = IR \ {-1}
f est une fonction rationnelle donc continue sur son domaine de définition D et donc elle admet des primitives sur D
On a
| f(x) = | x+1 - 1 |
| x+1 | |
| = 1 - | 1 |
| x+1 |
Donc f(x) = (x)'- (ln|x+1|)'
alors l'ensemble des fonctions
x→x - ln(| x + 1 |)+k tel que k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f
Exercice 5 tp
Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par
| f(x) = | 1 |
| 2x + 2√(x) |
Correction
f est définie si x≥0 et (2x + 2√(x))≠0 .
Soit x∈IR+
2x + 2√(x) = 0 ⇔ √(x)=-x=-√(x)²
⇔ √(x)(1+√(x))=0 ⇔ √(x)=0 ou √(x)=-1
√(x)=-1 n'est pas possible donc x=0
Ainsi D = ]0 ; +∞[
La fonction x→2x+2√(x) ne s'annule pas et continue sur D donc f est continue sur D et donc elle admet des primitives sur D
| f(x) = | 1 | = | 1 |
| 2x + 2√(x) | 2√(x)(√(x) + 1) |
| = | (√(x))' | = | (√(x) + 1)' |
| √(x) + 1 | √(x) + 1 |
Ainsi ∀x∈D on a f(x) = [ln(√(x) + 1)] '
alors l'ensemble des fonctions
x→ln(√(x) + 1)+k tel que k∈IR est l'ensemble des fonctions primitives de f.