Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I) ln(x + 2) ≥ 0

Correction

L'inéquation (I) est définie si x + 2 > 0
ou encore si x > -2
ainsi D = ]-2 ; +∞[
Soit x∈D on a ln(1) = 0 donc
(I) ⇔ ln(x+2) ≥ ln(1)
⇔ x+2 ≥ 1 ⇔ x ≥ -1
⇔ x∈ [-1 ; +∞[

ainsi S = [-1 ; +∞[ ∩]-2 ; +∞[
Alors S = [-1 ; +∞[

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I) ln(x + 2) ≤ ln(2 - x)

Correction

L'inéquation (I) est définie si

Ou encore si x > -2 et -x > -2
ou encore si x > -2 et x < 2
Donc D = ]-2 ; 2[
Soit x∈D
(ln(x + 2) ≤ ln(2 - x)) ⇔ (x + 2 ≤ 2 - x)
⇔ (2x ≤ 0) ⇔ (x ≤ 0)
⇔ x∈]-∞ ; 0]
Donc l'ensemble de solutions de (I)
S = ]-∞ ; 0]∩D = ]-2 ; 0]

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(√(x-1) - 2)
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f
2) Résoudre l'inéquation f(x) ≥ 0

Correction

1) D = {x∈IR / (x-1≥0) et (√(x-1) - 2) > 0}
= {x∈IR / x≥1 et x-1 > 4}
= {x∈IR / x≥1 et x > 3}
Ainsi D = ]3 ; +∞[

2) Soit x∈D
(f(x) ≥ 0) ⇔ (ln(√(x-1) - 2) ≥ ln(1))
⇔ √(x-1) - 2 ≥ 1 ⇔ √(x-1) ≥ 3
⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 ⇔ x∈[10 ; +∞[
Donc S = [10 ; +∞[∩D
Puisque [10 ; +∞[⊂D
alors S = [10 ; +∞[

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR, les inéquations suivantes
1) log_1/2(x-3)< 4
2) ln²(x)-4ln(x)+3>0
3) ln²(x)-8ln(√x)+3< 0
4) ln(x+1)+lnx²< ln2
5) 2ln²(x-1)-3ln(x-1)+1<0

Exercice 5 tp

résoudre dans IR, les équations suivantes:
1) log(2x+3)= 1 ;
5) ln(2x)+ln(x+1) = 0
3) (log₃)²(x)-4log₃(x)+3=0
4) ln(x-2) + ln(x-3) = ln2.