Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonction Logarithme (8)

Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) = lnx+2
x-2

1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D
3) Déduire que f est strictement décroissante sur D

Correction

1) f est définie si x+2 et x-2 sont non nuls et de même signe

x-∞ -22 +∞
x+2 -0+| +
x-2 -|-0 +
x+2 +0-|| +
x-2

Ainsi D = ]-∞ ; -2[∪]2 ; +∞[

2) La fonction g définie sur D par

g(x) = x+2
x-2

est une restriction d'une fonction rationnelle donc dérivable sur D de plus elle est strictement positive sur D alors f est dérivable sur D . Soit x∈D

f '(x) = g '(x)
g(x)
g '(x) = ( x+2 )'
x-2
= (x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'
(x-2)²
= x-2 - (x+2)
(x-2)²
= - 4
(x-2)²

Donc ∀x∈D

f '(x) = - 4
g(x)(x-2)²

Ou encore

f '(x) = - 4
(x+2)(x-2)

3) ∀x∈D on a (x+2)(x-2)>0 et -4 < 0
donc ∀x∈D on a f '(x) < 0 et donc f est strictement décroissante sur D

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = ln(√(x-1) - 2)
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de f sur D

Correction

1) D = {x∈IR / (x-1≥0) et (√(x-1) - 2) > 0}
= {x∈IR / x≥1 et x-1 > 4}
= {x∈IR / x≥1 et x > 3}
Ainsi D = ]3 ; +∞[

2) Soit x∈D
la fonction x→(x-1) est dérivable et strictement positive sur D donc la fonction x→√(x-1) est dérivable sur D ainsi la fonction x→(√(x-1)-2) est dérivable et strictement positive sur D alors la fonction f est dérivable sur D et on a ∀x∈D

f '(x) = (√(x-1)-2)'
√(x-1)-2

On a

(√(x-1)-2)' 1
2√(x-1)

ainsi

f '(x) = 1
2√(x-1)(√(x-1)-2)