1.3.3 Propriété 3

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I
a∈I et b∈IR.
Elle existe une seule fonction primitive G de f sur I qui vérifie la condition G(a)=b.

1.3.4 Résultat

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une fonction primitive de f.
Elle existe une seule fonction primitive G de f qui s'annule en a et G(x)=F(x)-F(a).

Exemple
Soit f une fonction définie par
f(x)= 4x³ donc une des ses fonction primitive F définie sur IR par F(x)=x⁴.
Si on pose a=3 alors la fonction primitive G de f qui s'annule en 3 est définie par
(∀x∈IR): G(x)=F(x)-F(3)=x⁴-81.

1.4 Opérations sur les fonctions primitives

1.4.1 Propriété

Soient f et g deux fonctions qui admettent respectives les fonctions primitives F et G dans un intervalle I et k∈IR.
F+G est une fonction primitive de f+g sur I.
F-G est une fonction primitive de f-g sur I.
kF est une fonction primitive de kf sur I.
En général: la fonction primitive de fxg n'est pas FxG.

Remarque
Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a ; b deux nombres réels de I.
Soit F une fonction primitive de f sur I, la différence F(b)-F(a) ne dépend pas de la fonction primitive choisie.

1.4.2 Exemple

Soit f une fonction définie par f(x)=3x²+2x.
On considère deux fonctions primitives F et G de f sur IR
F(x)= x³+x² et G(x)=x³+x²+7

On pose a=1 et b=5
F(1)-F(5)=2-150 =-148
G(1)-G(5)=9-157 = -148
donc F(1)-F(5)= G(1)-G(5).

2- Primitives des fonctions usuelles

avec k∈IR.