Fonctions Primitives (3)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
f(x)= (2x-1)(x²-x+1).
1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer la fonction primitive de f qui s'annule en 1.
Correction
1) f(x)= (2x-1)(x²-x+1)
f est continue sur IR donc elle admet des fonctions primitives sur IR.
On considère la fonction u définie sur IR par
u(x) = x²-x+1.
u est continue et dérivable sur IR
g'(x)=2x-1 et on remarque que f(x)=g'(x)g(x)
ou encore
| f(x) = ( | 1 | (g(x))²)' |
| 2 |
Ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F définies par
| F(x) = | 1 | (x²-x+1)² + k | tel que k∈IR |
| 2 |
2) Soit G la fonction primitive de f qui s'annule en 1
| donc G(x) = | 1 | (x²-x+1)² + k | et G(1)=0 |
| 2 |
On cherche k
| G(1) = 0 ⇔ | 1 | (1²-1+1)² + k = 0 |
| 2 |
| ⇔ | k = | - 1 |
| 2 |
| G(x) = | 1 | (x²-x+1)² - | 1 |
| 2 | 2 |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x |
| √(x²+5) |
1) Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f.
2) Déterminer G la fonction primitive de f qui vérifie la condition G(2) = 1.
Correction
1) La fonction x→x²+5 est continue sur IR donc la fonction x→√(x²+5) est continue sur IR et ne s'annule pas et la fonction x→x est continue sur IR
donc f est continue sur IR et donc elle admet des fonctions primitives sur IR.
On considère la fonction u définie sur IR par
u(x) = √(x² + 5).
La fonction x→x²+5 est strictement positive et dérivable sur IR.
Donc u est dérivable sur IR. Soit x∈IR
| u'(x) = | 2x | = | x |
| 2√(x²+5) | 2√(x²+5) |
On remarque que f(x)=u'(x)
ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F définies par
F(x) = √(x²+5) + k tel que k∈IR.
2) Soit G la fonction primitive de f qui vérifie la condition G(2)=1
donc G(x)= √(x²+5) + k et G(2)=1.
On cherche k
G(2) = 1 ⇔ √(2²+5) + k = 0
⇔ k=- 3
ainsi G(x) = √(x²+5) - 3.