Calcul de probabilités (5)
2.2 Indépendance de deux événements
2.2.1 Définition
On dit que deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la réalisation de l'autre.
En d'autre terme, deux événements sont indépendants lors d'une réalistion consécutive
signifie p(E∩F) = p(E).p(F)
ou encore p(E|F) = p(E).
2.2.2 Résultat
Définition
On dit que deux événements E et F sont dépendants si
p(E∩F) ≠ p(E).p(F).
2.3 Indépendance des épreuves
2.3.1 Epreuves répétées
Exemple
Une urne contient 7 boules bleues et 3 boules vertes, les boules sont indiscernables au toucher, on tire au hasard 1 boule.
Soit E l'événement: tirer 1 boule bleue.
1) Déterminer p(E).
2) On répète cette épreuve 5 fois
Calculer la probabilité que l'événement E se produise exactement 2 fois.
Correction
1) cardΩ = 10.
| p(E) = | 7 |
| 10 |
2) Il y a deux choses à faire: placer les deux "E" c'est à dire déterminer les lieux de deux E, il y'a
| C | 2 5 | = 10 possibilités |
Voilà une possibilité
| E | E | Ē | E | Ē |
Et la deuxième chose est déjà faite, choisir deux boules bleues.
On désigne par H à l'événement:
E se réalise exactement 2 fois
et par conséquent l'événement contraire Ē se réalise (5-2=3 fois).
| p(H) = | C | 2 5 |
( | 7 | )²(1- | 7 | )³ |
| 10 | 10 |
| = 10. | 49 | . | 27 | = | 1323 | |
| 100 | 1000 | 10000 |
| Ainsi p(H) = | 1323 |
| 10000 |
2.3.2 Propriété
Soit (W ; p) un espace probabilisé fini et E un événement dans W.
Si on répète cet épreuve n fois alors la probabilité de l'événement E se réalise exactement k fois est définie par la forme binômiale.
| p(H) = | C | k n |
(p(E))k.(1- p(E))n-k |
avec k∈{0;1;2;...;n}.