3- Variable Aléatoire, loi de probabilité d’une variable aléatoire

3.1 Variable Aléatoire

3.1.1 Définition

Soit (w ; p) l'univers porobabilisé fini. Quand on associe tout élément de w par un nombre réel x_i on dit qu'on a définie une variable aléatoire dans w, notée x
x(w)={x ₁ ; x₂ ; .. ; x_n} est l'image de w par x.

3.1.2 Exemple

Une urne contient 5 jetons numérotés de 1 à 5.
On tire arbitrairement un jeton. Si le jeton porte un numéro pair le joueur gagne 5 points sinon il perde 4 points.
L'application ou la fonction x définie sur W={1;2;3;4;5} est appelée variable aléatoire.
X(w)={-4 ; 5} est l'image de W par x.

On s'intéresse au gain du jeu

3.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

3.2.1 Définition

Soit (w ; p) l'univers porobabilisé fini et x une variable aléatoire définie sur w. Une application qui associe chaque élément de x(w) par la probabilité de l'événement "x=x_i" est appelée loi de probabilité de x.

Note On détermine x(w) puis on calcule les probabilités p(x=x_i) et on résume les résultats dans un tableau comme suit

3.2.2 Espérance mathématique et variance et écart-type

Définitions
Soient (w ; p) univers probabilisé fini et x une variable aléatoire définie sur w.
Si x(w)={x₁ ; x₂ ;...; x_q} alors
1) l'espérence mathématique noté E(x) est définie par
E(x)= x₁p(x=x₁)+x₂p(x=x₂) +..+ x_qp(x=x_q).

2) La variance de la variable x noté V(x) est définie par
V(x)= E(x²)-(E(x))².

et L'écart type de la variable x noté σ(x) est définie par
σ(x)=√(V(x)).

Exemple
On considère la loi de probabilité finie définie par le tableau suivant

Espérance mathématique
E(x)= -1.p(x=-1)+2.p(x=2) + 3.p(x=3).

V(x)= E(x²)-(E(x))² = ?
E(x²)= (-1)²p(x=-1)+2²p(x=2)+3²p(x=3)

donc la variance

ainsi l'écart type