Bac 2014

On rappelle que (IR;+;×) est un corps commutatif et (M2(IR);+;×) est un anneau unitaire

son zéro la matrice: 0=		0	0
		0	0

son unité la matrice: I=		1	0
		0	1

∀a et b , on pose

M(a;b)=		a	a-b
		b	a+b

Et on considère l'ensemble:
E={M(a;b)/ (a;b)∈IR²}
1) Montrer que E est un sous groupe de (M2(IR);+).
2) Calculer J² et déduire que E n'est pas stable de (M2(IR);×). sachant que

J=		1	0
		0	1

3) On définie sur M2(IR) la LCI * par: A*B=A*N*B tel que

N=		a	b
		c	d

et on considère l'application f de IR* vers M2(IR)
(a+ib)↦M(a;b), (a et b sont deux réels).
i1. Montrer que f est un morphisme de (IR*;×) vers (M2(IR);*)
i2. On pose E*=E\{0}, montrer que f(IR*)=E*
i3. Montrer que (E* ; *) est un groupe commutatif

4) Montrer que, (∀(A;B;C)∈E³): A*(B+C)=A*B+A*C
5) Déduire que (E;+;*) est un corps commutatif.

Bac ratrapage 2014

Soit J=]-1;1[

I- (a;b)∈J², a*b=	a+b
	1+ab

1) Vérifier que: ∀(a;b)∈J², a*b∈J et déduire que * est une LCI dans J
2) i1. Montrer que * est commutative et associative
i2. Montrer que (J;*) admet un élément neutre qui doit etre spécifié.
i3. Montrer que (J;*) est un groupe commutatif.

II- On considère l'application f définie sur IR par:

f(x)=	ex-1
	ex+1

1) Montrer que f est bijective de IR vers J
2) Soit g la bijection réciproque de f (spécifier g n'est pas demandé).
∀x;y ∈J, x⊥y=f(g(x)×g(y))
montrer que f est un morphisme de (IR*;×) vers (J*;⊥); J*=J\{0} .

3) On rappelle que (IR*;×) est un groupe commutatif et on admit que la LCI ⊥ est distributive par rapport à * dans J, montrer que (J;*;⊥) est un corps commutatif