Bac 2015

On rappelle que (M2(IR);+;×) est un anneau unitaire, son unité est

I=		1	0
		0	1

et (IR;+) est un groupe commutatif .
∀x∈IR, on pose

M(x)=		1-x	x
		-2x	1+2x

Et on considère l'ensemble: E={M(x)/ x∈IR}
On rapporte E par la LCI T définie par
(∀(x;y)∈IR²): M(x)TM(y)=M(x+y+1)

1) Soit f l'application de IR vers E, définie par
(∀x∈IR): f(x)=M(x-1)
i1. Montrer que f est un morphisme de (IR;+) vers (E;T)
i2. Montrer que (E;T) est un groupe commutatif 2) i1. Montrer que
(∀(x;y)∈IR²): M(x)×M(y)=M(x+y+xy)
i2. Déduire que E est une partie stable de (M2(IR);×) et la LCI "×" est commutative dans E

i3. Montrer que la LCI "×" est distributive par rapport à "T" dans E
i4. Vérifier que M(-1) est l'élément neutre dans (E;T) et I est l'élément neutre dans (E;×)
3) i1. Vérifier que
(∀x∈IR\{-1}): M(x)×M(-x/(1+x))=I
i2. Montrer que (E;T;×) est un corps commutatif

Bac 2016

On rappelle que (ℂ;+;×) est un corps commutatif et (M3(IR);+;×) est un anneau unitaire, son unité est

I=		1	0	0
		0	1	0
		0	0	1

∀z=x+iy∈ℂ , (x;y)∈IR², on pose

M(z)=		x+2y	0	5y
		0	1	0
		-y	0	x-2y

Et on considère l'ensemble
E={M(z)/z∈ℂ}

1) On rapporte E par la LCI * définie par
(∀(z;z')∈ℂ²): M(z)*M(z')=M(z)+M(z')-M(0)
Montrer que (E;*) est un groupe commutatif 2) Soit l'application f :ℂ*→E, z→M(z)
i1. Montrer que f est un morphisme de (ℂ*;×) vers (E;×) .
i2. Déduire que (E\{M(0)};×) est un groupe commutatif
3) Montrer que (E;*;×) est un corps