Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (12)

3.4 Limite de la composée d’une suite et une fonction continue

3.4.1 Suite de la forme vn=f(un)

Propriété
Soit (un)n≥p une suite convergente vers L.
Si une fonction f est continue au point L
alors la suite (vn) définie par vn=f(un) est convergente

et
lim
+∞
(vn) = f(L)

Exemple
Soit (un) une suite définie par

un= 4+ ( 1 ) n
2

on considère une fonction f définie par

f(x) = 10 + √x
x

et la suite (vn) définie par vn=f(un).

Calculer


lim
+∞
(vn)

Correction


lim
+∞
un - 4 =
lim
+∞
(0,5)n = 0

car -1 < 0,5 < 1.
La fonction √ est continue sur IR+ en particulier au point 4 donc f est continue au point 4.

La fonction x→x est également continue au point 4
donc la suite (vn) est convergente.


lim
+∞
(vn) = f(4) = 3
3.4.2 Résultats

Soit f une fonction continue sur un intervalle E et (un)n∈I une suite numérique à valeurs dans E ((∀n∈I): un∈E).
Si la suite (un)n∈I converge vers L

alors
lim
+∞
f(un) = f(L)

Si la suite (un)n∈I diverge vers ±∞

alors
lim
n→+∞
f(un) =
lim
t→±∞
f(t)
Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par f(x)=√(x).
1) On considère la suite (un) définie par

un= 2n+1
n

Montrer que la suite (f(un)) est convergente et calculer


lim
+∞
f(un)

2) Soit (vn) une suite définie par vn=n²-n.

Calculer
lim
+∞
f(vn)
Correction

1) f est définie et continue sur IR+ et les termes de la suite (un) sont tous dans IR+ et de plus elle converge vers 2 donc la suite (f(un)) est convergente.


lim
+∞
f(un) = f(2) = √2

2) f est définie et continue sur IR+ et les termes de la suite (vn) sont tous dans IR+ et de plus elle diverge vers +∞.


lim
n→+∞
f(vn) =
lim
t→ +∞
√(t)
donc
lim
+∞
f(vn) = +∞