Suites numériques (12)
3.4 Limite de la composée d’une suite et une fonction continue
3.4.1 Suite de la forme vn=f(un)
Propriété
Soit (un)n≥p une suite convergente vers L.
Si une fonction f est continue au point L
alors la suite (vn) définie par vn=f(un) est convergente
| et | lim +∞ |
(vn) | = f(L) |
Exemple
Soit (un) une suite définie par
| un= 4+ ( | 1 | ) | n |
| 2 |
on considère une fonction f définie par
| f(x) = | 10 + √x |
| x |
et la suite (vn) définie par vn=f(un).
Calculer
lim +∞ |
(vn) |
Correction
lim +∞ |
un - 4 = | lim +∞ |
(0,5)n = 0 |
car -1 < 0,5 < 1.
La fonction √ est continue sur IR+ en particulier au point 4 donc f est continue au point 4.
La fonction x→x est également continue au point 4
donc la suite (vn) est convergente.
lim +∞ |
(vn) = f(4) = 3 |
3.4.2 Résultats
Soit f une fonction continue sur un intervalle E et (un)n∈I une suite numérique à valeurs dans E ((∀n∈I): un∈E).
Si la suite (un)n∈I converge vers L
| alors | lim +∞ |
f(un) | = f(L) |
Si la suite (un)n∈I diverge vers ±∞
| alors | lim n→+∞ |
f(un) = | lim t→±∞ |
f(t) |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par f(x)=√(x).
1) On considère la suite (un) définie par
| un= | 2n+1 |
| n |
Montrer que la suite (f(un)) est convergente et calculer
lim +∞ |
f(un) |
2) Soit (vn) une suite définie par vn=n²-n.
| Calculer | lim +∞ |
f(vn) |
Correction
1) f est définie et continue sur IR+ et les termes de la suite (un) sont tous dans IR+ et de plus elle converge vers 2 donc la suite (f(un)) est convergente.
lim +∞ |
f(un) | = f(2) = √2 |
2) f est définie et continue sur IR+ et les termes de la suite (vn) sont tous dans IR+ et de plus elle diverge vers +∞.
lim n→+∞ |
f(vn) = | lim t→ +∞ |
√(t) |
| donc | lim +∞ |
f(vn) | = +∞ |