Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (11)

3.2 Suite de la forme (qn) avec q∈IR*

3.2.1 Propriété

1) Si q > 1 alors


lim
+∞
qn = +∞

2) Si -1 < q < 1 alors


lim
+∞
qn = 0

3) Si q≤-1 la suite n'admet pas de limite.

Exemples


lim
+∞
2n = +∞

lim
+∞
( 3 )n = 0
4

lim
+∞
(-3)n n'existe pas
Exercices 1 tp

Calculer les limites suivantes


lim
+∞
2n -3n

lim
+∞
( 7n+5n )
5n-3n

lim
+∞
( √(5)+√(2) )n
√(5)+√(3)

3.3 Suites récurrentes de la forme un+1=f(un)

3.3.1 Propriété

Soit f une fonction continue sur un intervalle I tel que f(I)⊂I
et soit (un)nn≥p une suite définie par un=f(un) et up∈I.
Si la suite (un) est convergente alors sa limite L est une solution de l'équation f(x)=x.

3.3.2 Suite de la forme un+1=aun+b

Exemple
Soit (un) une suite définie par

un+1 = 1 un -1 et u0=2
2

1) Montrer que (∀n∈IN): -2<un≤2.
2) Montrer que la suite (un) est décroissante et déduire qu'elle est convergente.

3) Soit f la fonction définie par

f(x)=1x-1
2

(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[-2;2] et f(I)⊂I.
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x.
4) Déterminer la limite suivante


lim
+∞
(un)
3.3.3 Suite de la forme
un+1= aun+b
cun+d

Exemple
Soit (un) une suite définie par

un+1= 2un - 1 et u0 = 3
un 2

1) Montrer que (∀∈IN): 1≤un≤2.
2) Montrer que la suite (un) est croissante.

Et déduire qu'elle est convergente.
3) Soit f la fonction définie par

f(x) = 2x-1
x

(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[1;2] et f(I)⊂I.
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x.
4) Déterminer la limite suivante


lim
+∞
(un)