Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (14)

Exercice 1 tp

Soit (un) une suite définie par

un+1 = 4un - 2 et u0= 5
un + 1 4

1) Montrer par récurrence que
(∀∈IN): 1<un<2.
2) Montrer que la suite (un) est croissante
et déduire qu'elle est convergente.

3) Soit (vn) une suite définie par

vn = un - 1
un - 2

(a) Calculer v0.
(b) Montrer que (vn) est une suite géométrique.
4) Ecrire vn et un en fonction de n.
5) Calculer


lim
+∞
(un)
Correction

1) On désigne par P(n) la propriété
(∀∈IN): 1<un<2.
(a) Pour n=0 la propriété P(n) est vraie car

1 < 5 < 2
4

⇔ 1<u0<2.
(b) On suppose que P(n) est vraie et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
On montre d'abord 1<un+1.

un+1 - 1 = 4un - 2 - 1
un + 1
= 4un - 2 - un - 1 = 3(un - 1)
un + 1 un + 1

en utilisant la supposition 1<un
on déduit que 3(un-1)>0
et on a de plus un+1>0
donc un+1-1>0
et donc (∀n∈IN): un>1.
Il reste à montrer que un+1<2.

un+1 - 2 = 4un - 2 - 2
un + 1
= 4un - 2 - 2un - 2 = 2(un - 2)
un + 1 un + 1

en utilisant la supposition un<2
on déduit que 2(un - 2)<0
et on a de plus un + 1>0 donc un+1 - 2<0
et donc (∀n∈IN): un<2
ainsi (∀n∈IN): 1<un<2.

2) Monotonie de la suite (un). Soit n∈IN

un+1 - un = 4un - 2 - un
un + 1
= 4un - 2 - un² - un = -(un² - 3un + 2)
un + 1 un + 1

on pose X = un on obtient donc le trinôme X²-3X+2
Δ=b²-4ac = 9-8=1>0.

ouX = -b - √(Δ) = 3-1 = 1
2a2
X = -b + √(Δ) = 3+1 = 2
2a2

donc X²-3X+2 = (X-1)(X-2) .

un+1 - un = -(un - 1)(un - 2)
un + 1

On a (∀n∈IN): 1<un<2

Donc un - 1>0 et un-2<0
et donc -(un - 1)(un - 2)>0
et de plus un + 1>0
alors (∀n∈IN): un+1 - un>0
et cela signife que la suite (un) est strictement croissante.
(b) Puisque la suite (un) est croissante et majorée alors elle est convergente.

3) (a) On Calcule v0

v0 = u0 - 1 = 5 - 4
u0 - 2 5 - 8
Donc v0 = - 1
3

(b) Montrons que (vn) est une suite géométrique.

vn+1 = un+1 - 1
un+1 - 2
= 4un -2 - un - 1
4un - 2 - 2un -2
= 3(un - 1)
2(un - 2)
= 3 x un - 1
2 un -2
vn+1 = 3 x vn
2

ainsi (vn) est une suite géométrique.

de raison 3
2

4) (vn) est une suite géométrique

donc vn = ( 3 )nv0
2

ainsi

vn = - 1 ( 3 )n
3 2
un ≠ 2 donc vn = un - 1
un - 2

⇔ vn(un - 2) = un - 1
⇔ un (vn - 1) = 2vn - 1

⇔ un = 2vn - 1
vn - 1
⇔ un = 2(vn - 1) + 1
vn - 1
⇔ un = 2 + 1
vn - 1
⇔ un = 2 - 3
(3/2)n - 1

5) Limite de la suite (un)

3 > 1 ⇒
lim
+∞
( 3 )n = +∞
2 2

lim
+∞
3 = 0
(3/2)n - 1

ainsi


lim
+∞
(un) = 2