Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (15)

Exercice 1 tp

Soit (un) une suite définie par

un+1 = 2un - 1 et u0 = 3
un 2

1) Montrer que (∀∈IN): 1≤un≤2.
2) Montrer que la suite (un) est croissante et déduire qu'elle est convergente.

3) Soit f la fonction définie par

f(x) = 2x-1
x

(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[1;2] et f(I)⊂I.
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x.
4) Déterminer la limite suivante


lim
+∞
(un)
Correction

1) On désigne par P(n) à la propriété
(∀∈IN): 1≤un≤2.
(a) Pour n=0 la propriété P(n) est vraie car (1≤1,5≤2) ⇔ (1≤u0≤2).
(b) On suppose que P(n) est vraie et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
On montre 1≤un+1≤2.

On a

un+1 - 1 = 2un - 1 - 1 = un - 1
un un

un≥1 ⇒ un-1≥0.
On a également un≥1>0

donc un - 1 ≥ 0
un

ou encore un + 1 ≥ 1
ainsi (∀n∈IN): un≥1.
Il reste à montrer que un+1<2

un+1 - 2 = 2un - 1 - 2
un
= 2un - 1 - 2un = -1
un un

En utilisant la supposition un≤3
on déduit que 2(un - 3)≤0
et on a de plus un>0 et -1<0
donc un+1 - 2<0

et donc (∀n∈IN): un<2
ainsi (∀n∈IN): 0<un≤3

2) Monotonie de la suite (un). Soit n∈IN

un+1 - un = 2un - 1 - un
un
= 2un - 1 - un² = -(un² - 2un + 1)
un un
= -(un - 1)²
un

On a (∀n∈IN): -(un -1 )² ≤0
et de plus un>0
alors (∀n∈IN): un+1 - un≤0
et cela signife que la suite (un) est décroissante.
(b) Puisque la suite (un) est décroissante et minorée alors elle est convergente.

3) f est une fonction rationnelle donc continue et dérivable sur son domaine de définition D=IR* et en particulier elle est continue et dérivable
sur l'intervalle I=[1;2].

Soit x∈IR*

f '(x) = 1 > 0

Donc f est strictement croissante sur ]-∞;0[ et strictement croissante sur ]0;+∞[
et donc f est strictement croissante sur I car I⊂]0;+∞[.

f(I) = [f(1);f(2)] = [1; 3 ⊂ I
2

ainsi f(I)⊂I.

Soit x∈I donc x≠0

f(x) = x ⇔ 2x-1 = x
x

⇔ 2x-1 = x²
⇔ x²-2x+1 = 0 ⇔ (x-1)²=0
⇔ x-1=0 ⇔ x=1
1∈I donc S = { 1 }.

4) Limite de la suite (un)
(un) est convergente
et s'écrit sous la forme un+1=f(un).
On a f est continue sur l'intervalle I
u0∈I et f(I)⊂I
donc la limite de la suite (un) vérifie l'équation f(x)=x dans I donc x=1.

ainsi
lim
+∞
(un) = 1