Exercice 1 tp

Soit (u_n) une suite définie par

1) Montrer que (∀∈IN): 1≤u_n≤2.
2) Montrer que la suite (u_n) est croissante et déduire qu'elle est convergente.

3) Soit f la fonction définie par

(a) Montrer que f est continue sur l'intervalle
I=[1;2] et f(I)⊂I.
(b) Résoudre dans I l'équation f(x)=x.
4) Déterminer la limite suivante

Correction

1) On désigne par P(n) à la propriété
(∀∈IN): 1≤u_n≤2.
(a) Pour n=0 la propriété P(n) est vraie car (1≤1,5≤2) ⇔ (1≤u₀≤2).
(b) On suppose que P(n) est vraie et on montre qu'elle est vraie pour n+1.
On montre 1≤u_n+1≤2.

On a

u_n≥1 ⇒ u_n-1≥0.
On a également u_n≥1>0

ou encore u_{n + 1} ≥ 1
ainsi (∀n∈IN): u_n≥1.
Il reste à montrer que u_n+1<2

En utilisant la supposition u_n≤3
on déduit que 2(u_n - 3)≤0
et on a de plus u_n>0 et -1<0
donc u_n+1 - 2<0

et donc (∀n∈IN): u_n<2
ainsi (∀n∈IN): 0<u_n≤3

2) Monotonie de la suite (u_n). Soit n∈IN

On a (∀n∈IN): -(u_n -1 )² ≤0
et de plus u_n>0
alors (∀n∈IN): u_n+1 - u_n≤0
et cela signife que la suite (u_n) est décroissante.
(b) Puisque la suite (u_n) est décroissante et minorée alors elle est convergente.

3) f est une fonction rationnelle donc continue et dérivable sur son domaine de définition D=IR* et en particulier elle est continue et dérivable
sur l'intervalle I=[1;2].

Soit x∈IR*

Donc f est strictement croissante sur ]-∞;0[ et strictement croissante sur ]0;+∞[
et donc f est strictement croissante sur I car I⊂]0;+∞[.

ainsi f(I)⊂I.

Soit x∈I donc x≠0

⇔ 2x-1 = x²
⇔ x²-2x+1 = 0 ⇔ (x-1)²=0
⇔ x-1=0 ⇔ x=1
1∈I donc S = { 1 }.

4) Limite de la suite (u_n)
(u_n) est convergente
et s'écrit sous la forme u_n+1=f(u_n).
On a f est continue sur l'intervalle I
u₀∈I et f(I)⊂I
donc la limite de la suite (u_n) vérifie l'équation f(x)=x dans I donc x=1.