Exercice 1 tp

Soit (u_n)n≥0 une suite numérique définie par

1) Montrer que (∀n∈IN): u_n>0.
2) (a) Montrer que

(b) Montrer que (∀n∈IN): u_n>2.
3) (a) Montrer que

(∀n∈IN): un+1 -2 =	1	(un-2)+	2	-1
	2		un

(b) Déduire que

4) Calculer

Correction

1) On montre par récurrence la propriété P(n)
(∀n∈IN): u_n>0.
Pour n=0 la propriété P1 est vraie car u₀=3>0.
On suppose que la propriété P(n) est vraie pour n.

c'est à dire u_n>0
et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire u_n+1>0.
On a

donc

Ou encore u_n+1>0 donc la propriété P(n) est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): u_n>0.
2) (a) On a

(b) On montre par récurrence la propriété Q(n)
(∀n∈IN): u_n>2.
Pour n=0 la propriété Q(n) est vraie car u₀=3>2.
On suppose que la propriété Q(n) est vraie pour n
c'est à dire u_n>2 et on montre qu'elle est vraie pour n+1
c'est à dire u_n+1>2.

On a u_n>2 ⇔ u_n-2>0
donc (u_n - 2)²>0 et u_n>0
ou encore

u_n+1 -2 > 0
donc la propriété Q(n) est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN): u_n>2.

3) (a) On a

Donc ∀n∈IN

(b) On a

est négatif donc (∀n∈IN)

On fait la somme membre à membre de deux inégalités et après simplification on obtient

4) -1 < 0,5 < 1 donc (0,5)ⁿ→0
et on a

en appliquant le Théorème de gendarme on obtient