1- تذكير

1.1 المتتالية العددية

1.1.2 تعريف متتالية

I هي مجموعة من عناصر المجموعة IN التي اكبر او تساوي عدد طبيعي p
المتتالية العددية هي دالة عددية او تطبيق معرف على I, ونرمز لها ب (u_n)_n≥p او (u_n)_n∈I ...

1.1.3 المتتالية الحسابية

I⊂IN و (u_n)_n∈I
متتالية عددية
نقول ان هذه المتتالية هي متتالية حسابية اذا كانت تكتب على الشكل
u_n+1=u_n+r, n∈I
العدد r يسمى اساسا لها

خاصية 1

لتكن (u_n) متتالية حسابية حدها الاول u₀ واساسها r
الحد العام للمتتالية (u_n) معرف كما يلي u_n=u₀+nr

ملاحظة

لتكن (u_n)_n≥p متتالية حسابية اساسها r,
u_n = u_p+(n-p)r.

خاصية 2

(u_n)_n≥p متتالية حسابية
و S= u_p+u_p+1+..+u_n
n-p+1 عدد الحدود
لدينا اذن

S=	n-p+1	(up+un)
	2

1.1.4 المتتالية الهندسية

(u_n)_n∈I متتالية هندسية اساسها q اذا كانت تكتب على الشكل u_n+1=qu_n, n∈I وحدها الاول عددا حقيقيا a

خاصية 1

(u_n)_n≥p متتالية حسابية اساسها q لدينا u_n=u_pq^n-p

خاصية 2

(u_n)_n≥p متتالية هندسية اساسها q≠1 و
S= u_p+u_p+1+ .. +u_n

هو عدد الحدود n-p+1 حيث	S=up	1-qn-p+1
		1-q

1.2 المتتالية المحدودة

1.2.1 المتتالية المكبورة

نقول ان المتتالية (u_n)_n≥p مكبورة بالعدد الحقيقي M اذا كان ∀n≥p: u_n≤M

1.2.2 المتتالية المصغورة

نقول ان المتتالية (u_n)_n≥p مصغورة بالعدد الحقيقي m, اذا كان ∀n≥p: u_n≥m

1.2.3 تعريف

نقول ان متتالية محدودة اذا كانت مصغورة او مكبورة

1.3 رتابة متتالية

متتالية عدددية (un)n≥p
تزايدية (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 ≥un
تزايدية قطعا (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 > un
تناقصية (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 ≤un
تناقصية قطعا (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 < un
تابتة (un)n≥p ⇔ ∀n≥p: un+1 = un

2- نهاية منتهية لمتتالية

2.1 انشطة

2.1.1 مثال 1

C₀ =(ABCD) مربع مساحته s₀=1
C₁ مربع مساحته s₁ ورؤوسه هي , منتصفات اضلاع المثلث C₀ ...
C_n مربع مساحته s_n ورؤوسه هي , منتصفات اضلاع المثلث C_n-1

المربع	C0	C1	C2	..	Cn
مدل	0	1	2	..	n
المساحة	1	1/4	1/4²	...	1/4n-1

(s_n) هي متتالية هندسية اساسها 1/4; عندما n ياخذ قيمة كبيرة فان المربع يقترب ان يصبح نقطة اذن مساحته تقترب من 0
نقول ان نهاية المتتالية (s_n) تساوي 0 ونكتب lim_+∞(s_n)= 0

2.1.2 مثال 2

اتمم الجدول التالي

n		10²	10³	104	...	+∞
1		0,01	..	..	..	0
n
1		0,0001		..	..	0
n²
1		..	..	..	..	0
n³
1		0,1	..	..	..	0
√n
1		..	..	..	..	0
np

كلما زادت قيمة n نقصت قيمة الحد العام لهذه المتتالية واقتربت من 0 , نقول ان نهاية هذه المتتالية هي 0

2.2 تعريف ونتيجة

2.2.1 تعريف

نقول ان متتالية (u_n) تقبل النهاية 0 اذا كان كل مجال مفتوح يحتوي على 0, يحتوي على جميع حدود المتتالية انطلاقا من رتبة ما
ونكتب lim_∞ (u_n)n∈I = 0
وبتعبير آخر
lim_∞(u_n)n∈I=0 ⇔ (∀ε>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):u_n∈]-ε;+ε[

2.2.2 المتتاليات الاعتيادية

lim+∞	1	=0	lim+∞	1	=0
	n			n²
lim+∞	1	=0	lim+∞	1	=0
	n³			√(n)

lim+∞	1	=0 ; p∈IN*
	np

2.2.3 نتيجة: متتالية تؤول الى عدد حقيقي

lim_∞(u_n)n∈I=L⇔lim_∞ (u_n)n∈I -L= 0

تمرين

ليكن (u_n) متتالية عددية معرفة بما يلي

un=7+	1
	n³

احسب lim_+∞(u_n)

تصحيح

نحسب النهاية lim_+∞(u_n)-7

lim+∞(un)-7=lim+∞	1
	n³

نعلم ان

lim+∞	1	=0
	n³

اذن lim_+∞(u_n)=7.

3- المتتالية المتقاربة والمتتالية المتباعدة

3.1 تعريف وتطبيقات

3.1.1 تعريف

نقول ان متتالية متقاربة اذا كانت تقبل نهاية منتهية اي عددية وعكس ذلك فهي متتالية متباعدة

3.1.2 تطبيقات :

بين ان

lim+∞ (2+	1	)=2
	n
lim+∞	1	-5 =-5
	√(n)
lim+∞	3n+1	=3
	n