(2) نهاية المتتاليات
3.2 مبرهنات اساسية
3.2.1 مبرهنة 1
كل متتالية متقارب محدودة
lim∞(un)n∈I=L
⇒(∃M∈IR+)(∀n∈I):|un|≤M.
3.2.2 مبرهنة 2
اذا كانت متتالية تزايدية ومكبورة فهي متقاربة.
3.2.3 مبرهنة 3
كل متتالية مصغورة وتناقصية فهي متقاربة
تمرين
لتكن (un) متتالية عددية معرفة كما يلي
un+1=√(2+un) و u0=7
1) بين ان لكل n∈IN
2≤un≤7
2) ادرس رتابة المتتالية (un) واستنتج انها متقاربة
3) بين ان لكل n∈IN لدينا |un+1-2|≤0,25|un-2|
واستنتج ان لكل n∈IN لدينا |un-2|≤5.(0,25)n
4) استنتج حساب
lim(+∞)un
تصحيح
1) نبين بالترجع ان الخاصية لكل n∈IN لدينا 2≤un≤7 صحيحة
المرحلة الاولى من اجل n=0 لدينا
2≤u0=7≤7 اذن الخاصية صحيحة
المرحلة الثانية نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من أجل n+1
2≤un≤7
⇔ 2+2≤un+2≤7+2
⇔ √(4)≤√(2+un)≤√(9)
⇔ 2≤un+1≤7
اذن الخاصية صحيحة من اجل n+1
المرحلة الاخيرة نستنتج اذن ان لكل n∈IN
2≤un≤7
ملاحظة هامة: يمكن ان نبين المتفاوتة 2≤un
ثم نبين المتفاوتة un≤7
2) ندرس رتابة المتتالية (un) , ومن اجل ذلك ندرس اشارة un+1-un
un+1-un=√(2+un)-un=
| √(2+un)²-un² | = | -(un²-un-2) |
| √(2+un)+un | √(2+un)+un |
نضع un=x ونعمل ثلاثية الحدود x²-x-2
Δ=b²-4ac=1+8=9>0
| x1= | -b-√Δ | ; x2= | -b+√Δ |
| 2a | 2a | ||
| x1= | -(-1)-√(9) | ; x2= | -(-1)+√9 |
| 2.1 | 2.1 |
اذن
| un+1-un= | -(un+1)(un-2) |
| √(2+un)+un |
اذن (un+1)(un-2)≥0
-(un+1)(un-2)≤0
وبالتالي un+1-un≤0
وهذا يعني ان المتتالية (un) تناقصية
وبما انها مصغورة ب 2 وتناقصية فهي اذن متقاربة
3) نبين ان لكل n∈IN
|un+1-2|≤0,25|un-2|
لدينا |un+1-2|=|√(2+un)-2|
= |(√(2+un)²-2²)(un+2)-1|
= |(un-2)(un+2)-1|
لدينا
2≤un≤7⇔
4≤un+2≤9⇔
√4≤√(un+2)≤√9⇔
2+2≤√(un+2)+2≤3+2⇔
5-1≤√(un+2)+2)-1≤4-1=0,25
ومنه فان لكل n∈IN لدينا
|un+1-2|≤0,25|un-2|
وباعطاء قيم ل n من 0 الى n-1
|u1-2|≤0,25|u0-2|
|u2-2|≤0,25|u1-2|
...
|un-1-2|≤0,25|un-2-2|
|un-2|≤0,25|un-1-2|
وبضرب طرفي هذه المتفاوتات طرفا طرفا وبعد الاختزال نحصل على
|un-2|≤(0,25)n.|u0-2|
اذن
|un-2|≤5.(0,25)n
وبما ان
0< 0,25< 1 فان lim(+∞)(0,25)n=0 ومنه فان
lim(+∞)un-2=0
وبالتالي lim(+∞)un=2
4- النهاية اللامنتهية
4.1 متتالية تؤول الى +∞
4.1.1 تعريف
المتتالية (un) تقبل النهاية +∞ اذا كان لكل مجال ]A;+∞[, (A∈R), يحتوي على جميع حدود المتتالية انطلاقا من رتبة ما .
ونكتب lim+∞ (un)n∈I = +∞
بتعبير آخر
lim∞ (un)n∈I =+∞⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):un∈]A;;+∞[ .
⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):un > A.
4.1.2 نهايات اعتيادية
lim+∞(n²)=+∞
lim+∞(n³)=+∞
lim+∞(np)=+∞ , p>1
lim+∞(√(n))=+∞
4.2 متتالية تؤول الى -∞
4.2.1 تعريف
المتتالية (un) تقبل النهاية -∞ اذا كان لكل مجال ]-∞ ; A[, (A∈R),يحتوي على جميع حدود المتتالية انطلاقا من رتبة ما.
ونكتب lim+∞ (un)n∈I =-∞
بتعبير آخر
lim∞ (un)n∈I =-∞⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):un∈]-∞;-A[ .
⇔(∀A>0)(∃N∈IN)(∀n≥N):un < -A.
4.2.2 خاصية
لتكن (un) متتالية عددية
lim(un)=+∞⇔lim(-un)=-∞
4.2.3 نهايات اعتيادية
lim(+∞)(-n²)=-∞
lim(+∞)(-n³)=-∞
lim(+∞)(-√(n)=-∞
lim(+∞)(-np)=-∞; p≥1
5- العمليات على نهاية المتتاليات
5.1 خاصيات
لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين وتقبلان نهاية عند +∞ و k∈IR
| lim(un+vn)=lim+∞(un)+lim+∞(un) |
| lim+∞k(un)=klim+∞(un) |
| lim+∞(un.vn)=lim+∞(un).lim+∞(vn) |
| lim+∞( | (un) | )= | lim+∞(vn) |
| un | lim+∞(vn) |
5.2 توسيع مفهوم النهاية
5.2.1 المجموع
| lim+∞(un) | lim+∞(vn) | lim+∞(un+vn) |
| L | L' | L+L' |
| lim+∞(un) | lim+∞(vn) | lim+∞(un+vn) |
| L | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ |
| -∞ | -∞ | -∞ |
| +∞ | -∞ | ╳ |
| -∞ | +∞ | ╳ |
5.2.2 الجذاء
| lim+∞(un) | lim+∞(vn) | lim+∞(un.vn) |
| L< 0 | -∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ |
| +∞ | -∞ | -∞ |
| 0 | +∞ | ╳ |
| -∞ | -∞ | +∞ |