Suites numériques (1)
1- Rappel
1.1 Suite numérique
1.1.1 Définition d'une suite
Soit I l'ensemble des éléments de ℕ supérieurs ou égaux à un certain entier naturel p.
Toute application définie sur I est appelée une suite numérique et est notée (un)n≥p ou (un)n∈I ...
1.1.2 Suite arithmétique
(un)n≥p est une suite arithmétique de raison r
si elle s'écrit sous la forme
un+1=un+r tel que n≥p
et up=a son premier terme.
Propriété 1
Soit (un) une suite arithmétique du premier terme u0 et de raison r.
Le terme général de la suite (un) est défini par
Remarque
Si (un)n≥p est une suite arithmétique de raison r
alors un = up+(n-p)r.
Propriété 2
Soient (un)n≥p une suite arithmétique
et S = up+up+1+..+un.
| S = | n-p+1 | (up+un) |
| 2 |
n-p+1 est le nombre de termes de la somme S.
1.1.3 Suite géométrique
(un)n≥p est une suite géométrique de raison q
si elle s'écrit sous la forme
un+1=qun tel que n≥p et up=a son premier terme.
Propriété 1
Soit (un)n≥p une suite géométrique de raison q.
un = upqn-p.
Propriété 2
Soient (un)n≥p une suite géométrique de raison q≠1
et S= up+up+1+ .. +un.
| S = up | 1-qn-p+1 |
| 1-q |
n-p+1 est le nombre de termes de la somme.
1.2 Suite bornée
1.2.1 Suite majorée
Une suite (un)n≥p est majorée
par M
tel que( M∈IR) signifie (∀n≥p): un≤M.
1.2.2 Suite minorée
Une suite (un)n≥p est minorée
par m
tel que (m∈IR) signifie (∀n≥p): un≥m.
1.2.3 Définition
On dit qu'une suite est bornée si elle est majorée et minorée.
1.3 Monotonie d'une suite
1.3.1 Propriétés
Soit (un)n≥p est une suite numérique.
1) (un)n≥p est croissante
⇔ (∀n≥p): un+1 ≥un.
2) (un)n≥p est décroissante
⇔ (∀n≥p): un+1 ≤un.
3) (un)n≥p est strictement croissante
⇔ (∀n≥p): un+1 > un.
4) (un)n≥p est strictement décroissante
⇔ (∀n≥p): un+1 < un.
5) (un)n≥p est constante
⇔ (∀n≥p): un+1 = un.
1.3.2 Définition
On dit qu'une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.