Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (1)

1- Rappel

1.1 Suite numérique

1.1.1 Définition d'une suite

Soit I l'ensemble des éléments de ℕ supérieurs ou égaux à un certain entier naturel p.
Toute application définie sur I est appelée une suite numérique et est notée (un)n≥p ou (un)n∈I ...

1.1.2 Suite arithmétique

(un)n≥p est une suite arithmétique de raison r si elle s'écrit sous la forme
un+1=un+r tel que n≥p et up=a son premier terme.

Propriété 1 Soit (un) une suite arithmétique du premier terme u0 et de raison r.
Le terme général de la suite (un) est défini par

un=u0+nr.

Remarque
Si (un)n≥p est une suite arithmétique de raison r
alors un = up+(n-p)r.

Propriété 2
Soient (un)n≥p une suite arithmétique
et S = up+up+1+..+un.

S = n-p+1(up+un)
2

n-p+1 est le nombre de termes de la somme S.

1.1.3 Suite géométrique

(un)n≥p est une suite géométrique de raison q si elle s'écrit sous la forme
un+1=qun tel que n≥p et up=a son premier terme.

Propriété 1
Soit (un)n≥p une suite géométrique de raison q.
un = upqn-p.

Propriété 2
Soient (un)n≥p une suite géométrique de raison q≠1
et S= up+up+1+ .. +un.

S = up1-qn-p+1
1-q

n-p+1 est le nombre de termes de la somme.

1.2 Suite bornée

1.2.1 Suite majorée

Une suite (un)n≥p est majorée par M
tel que( M∈IR) signifie (∀n≥p): un≤M.

1.2.2 Suite minorée

Une suite (un)n≥p est minorée par m
tel que (m∈IR) signifie (∀n≥p): un≥m.

1.2.3 Définition

On dit qu'une suite est bornée si elle est majorée et minorée.

1.3 Monotonie d'une suite

1.3.1 Propriétés

Soit (un)n≥p est une suite numérique.
1) (un)n≥p est croissante
⇔ (∀n≥p): un+1 ≥un.
2) (un)n≥p est décroissante
⇔ (∀n≥p): un+1 ≤un.
3) (un)n≥p est strictement croissante
⇔ (∀n≥p): un+1 > un.

4) (un)n≥p est strictement décroissante
⇔ (∀n≥p): un+1 < un.
5) (un)n≥p est constante
⇔ (∀n≥p): un+1 = un.

1.3.2 Définition

On dit qu'une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.