نهاية المتتاليات (3)
5.2.3 الخارج
| lim+∞(un) | lim+∞(vn) | lim+∞ | (un) |
| (vn) | |||
| L | L'≠0 | L | |
| L' | |||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |
| L > 0 | 0- | -∞ | |
| +∞ | +∞ | ╳ | |
| +∞ | 0+ | +∞ | |
| 0 | 0 | ╳ |
╳ يعني شكل غير محدد
6- المتتاليات من نوع : (np) , p∈ℚ*
6.1 خاصية p∈IN
lim(n->+∞) n = +oo ; lim+∞ n² = +∞
ولدينا lim+∞ n³ = +∞
lim+∞ √n = +∞ و lim+∞ np = +∞ ; p > 2
6.2 خاصية p∈ℤ-*
lim(n→+∞)np=0
مثال
lim(n→+∞)n-7=0
6.3 خاصية p∈ℚ*
اذا كان p> 0 فان
lim(n→+∞)np=+∞
واذا كان p< 0 فان
lim(n→+∞)np=0
امثلة
lim(n->+∞)n2/3
=lim(n→+∞)³√(n)²=+∞
lim(n→+∞)n-5/2
=lim(n→+∞)√(n)-5=0
تمارين
احسب النهايات التالية
lim+∞3n²+2n-5 ;
lim+∞-2n³-2n²+7
lim+∞5n²-3n+4
lim+∞(2√(n) +1)(1-5n) ;
lim+∞n-√n
| lim+∞ | n² | ; lim+∞ | n²-3n+2 |
| 2n²-5 | n-2 |
| lim+∞ | 3n-2 | ; lim+∞ | n²-1 |
| n+1 | n4-1 |
| lim+∞ | n-√(n²+2) |
| n-1 |
بعض الاجوبة
| lim+∞3n²+2n-5=lim+∞3n²(1+ | 2 | - | 5 | ) |
| 3n | 3n² |
وبما ان
| lim+∞(1+ | 2 | - | 5 | )=1+0-0=1 |
| 3n | 3n² |
فان lim+∞3n²+2n-5=lim+∞3n².1=+∞
| lim+∞ | n²-1 | =lim+∞ | n²(1-1/n²) |
| n4+1 | n4(1+1/n4) | =lim+∞ | 1 | ×lim+∞ | 1-1/n² |
| n² | 1+1/n4 | ||
| =lim+∞ | 1 | ×1 | =0 |
| n² |
| lim+∞ | n-√(2n²+n) |
| n | |
| =lim+∞ | n(1-√(2+1/n) |
| n | |
| lim+∞ | 1-√(2+1/n) |
وبالتالي
| lim+∞ | n-√(2n²+n) | =1-√(2) |
| n |
7- متتاليات من نوع (an), a∈IR*
خاصيات
اذا كان q > 1 فان lim+∞ qn = +∞
اذا كان
-1 < q < 1 فان lim+∞ qn = 0
اذا كان q ≤ -1 فان المتتالية ليس لها نهاية
تمارين :
احسب النهايات التالية :
lim+∞ 2n -3n
| lim+∞( | 7n+5n | ) |
| 5n-3n | ||
| lim+∞( | √(5)+√(2) | )n |
| √(5)+√(3) |
8- النهايات والترتيب و مصادق التقريب
8.1 خاصيات :
اذا كانت (un) متتالية موجبة وتقبل نهاية منتهية L فان هذه النهاية موجبة
اذا كانت (un) متتالية سالبة وتقبل نهاية منتهية L فان هذه النهاية سالبة
اذا كانت (un) و (vn) متتاليتين و L∈IR بحيث لكل
n∈I: |un-L|≤vn و lim+∞(vn)=0 فان lim+∞(un)= L
8.2 خاصيات
| (un) ; (vn) و (wn) متتاليات عددية و n∈I |
|---|
| اذا كان لكل n∈I لدينا vn≤un≤wn و lim+∞(vn)=lim+∞(wn) فان lim+∞(un)=lim+∞(vn)=lim+∞(wn) (مبرهنة الدرك ) |
| اذا كان لكل n∈I لدينا un≤vn و lim+∞(vn)=-∞ فان lim+∞(un)=-∞ |
| اذا كان لكل n∈I لدينا un≥vn و lim+∞(vn)= +∞ فان lim+∞(un)=+∞ |
8.3 خاصيات
1) كل متتالية تزايدية وسالبة هي متتالية متقاربة
2) كل متتالية تناقصية وموجبة هي متتالية متقاربة
3) اذا كالنت (un) تزايدية وغير مكبورة فان
lim+∞(un) = +∞
4) اذا كانت (un) تناقصية وغير مصغورة فان
lim+∞(un) = -∞
9- المتتاليات المتجاورة
9.1 تعريف
لتكن (un) و (vn) متتاليتين عدديتين , نقول ان (un) و (vn) متجاورتان اذا تحققت الشروط التالية
1. (un) تزايدية
2. (vn) تناقصية
3. lim+∞(un-vn)=0
9.2 خاصية
كل متتاليتين متجاورتين (un) و (vn)
متقاربتان وتقبلان نفس النهاية L.
بالاضافة الى ذلك ∀n∈IN: un≤ L ≤vn
10- المتتاليات الترجعية من النوع un+1=f(un); n∈I
10.1 خاصية
لتكن f دالة متصلة على مجال I بحيث f(I)⊂I و (un)nn≥p متتالية معرفة كما يلي un = f(un) و up∈I . اذا كانت (un) متقاربة فان نهايتها L تحقق المعادلة f(x)=x
10.2 المتتاليات من النوع un+1=aun+b
تمرين
لتكن (un) متتالية معرفة كما يلي :
| un+1 = | 1 | un -1 و u0=2 |
| 2 |
1) بين ان ∀n∈IN, -2 < un ≤ 2
2) بين ان (un) متتالية تناقصية واستنتج انها متقاربة .
3) لتكن f الدالة المعرفة ب
| f(x)= | 1 | x-1 |
| 2 |
i. بين ان f متصلة على المجال I=[-2;2] و f(I)⊂I
ii. حل المعادلة f(x)=x على المجال I
4) استنتج lim+∞(un)