Mathématiques du secondaire qualifiant

Suites numériques (3)

2.1.4 Suite convergente et suite divergente

Définition
Une suite est convergente si elle admet une limite finie (un réel) sinon elle est divergente.

Suites de référence


lim
+∞
1 = 0
lim
+∞
1 = 0
n

lim
+∞
1 = 0
lim
+∞
1 = 0
√(n)

lim
+∞
1 = 0 (p∈IN*)
np

Application 1 Montrons que


lim
+∞
(2+ 1) = 2
n
On pose un = 2+ 1
n

lim
+∞
un - 2 =
lim
+∞
1 = 0
n
Ainsi
lim
+∞
un = 2

Application 2 Montrons que


lim
+∞
1 -5 = -5
√(n)
On pose vn = 1 -5
√(n)

lim
+∞
vn + 5 =
lim
+∞
1 = 0
√(n)
ainsi
lim
+∞
vn = -5

Application 3
Montrons que


lim
+∞
3n²+1 = 3
On pose wn = 3n²+1

lim
+∞
wn - 3 =
lim
+∞
3n²+1 - 3
=
lim
+∞
3n²+1-3n² =
lim
+∞
1 = 0
ainsi
lim
+∞
wn = 3
2.1.5 Théorèmes Fondamentals

Théorème 1
Toute suite convergente est bornée


lim
+∞
(un)n∈I
= L ⇒ (∃M∈IR+)(∀n∈I)
|un|≤M

Théorème 2
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Résultats
1) Toute suite croissante et négative est convergente.

2) Toute suite décroissante et positive est convergente.

Théorème 3
1) Si une suite (un) est croissante et non majorée alors


lim
+∞
(un)n∈I = +∞

2) Si une suite (un) est décroissante et non minorée alors


lim
+∞
(un)n∈I = -∞