Suites numériques (3)
2.1.4 Suite convergente et suite divergente
Définition
Une suite est convergente si elle admet une limite finie (un réel) sinon elle est divergente.
Suites de référence
lim +∞ | 1 | = 0 | lim +∞ |
1 | = 0 | |
| n | n² | |||||
lim +∞ |
1 | = 0 | lim +∞ |
1 | = 0 | |
| n³ | √(n) |
lim +∞ |
1 | = 0 (p∈IN*) |
| np |
Application 1 Montrons que
lim +∞ | (2+ | 1 | ) = 2 |
| n |
| On pose un = | 2+ | 1 |
| n |
lim +∞ | un - 2 = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| n |
| Ainsi | lim +∞ | un = 2 |
Application 2 Montrons que
lim +∞ | 1 | -5 = -5 |
| √(n) |
| On pose vn = | 1 | -5 |
| √(n) |
lim +∞ | vn + 5 = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| √(n) |
| ainsi | lim +∞ | vn = -5 |
Application 3
Montrons que
lim +∞ | 3n²+1 | = 3 |
| n² |
| On pose wn = | 3n²+1 |
| n² |
lim +∞ | wn - 3 = | lim +∞ | 3n²+1 | - 3 |
| n² |
| = | lim +∞ |
3n²+1-3n² | = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| n² | n² |
| ainsi | lim +∞ | wn = 3 |
2.1.5 Théorèmes Fondamentals
Théorème 1
Toute suite convergente est bornée
lim +∞ | (un)n∈I | = L ⇒ (∃M∈IR+)(∀n∈I) |un|≤M |
Théorème 2
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Résultats
1) Toute suite croissante et négative est convergente.
2) Toute suite décroissante et positive est convergente.
Théorème 3
1) Si une suite (un) est croissante et non majorée alors
lim +∞ | (un)n∈I | = +∞ |
2) Si une suite (un) est décroissante et non minorée alors
lim +∞ | (un)n∈I | = -∞ |